● 摘要
近几十年来, 各类反应扩散方程受到了很多生物学家和数学家的极大关注, 特别是带有不同反应函数和边界条件的捕食- 食饵模型. 从现实的生物意义上来讲, 捕食- 食饵模型研究的主要问题是物种能否共存. 所以, 捕食- 食饵模型的平衡态系统成为主要的研究课题.Chemostat 是一种用于微生物连续培养的实验装置. 在微生物研究中, chemostat 被广泛应用于废料处理、微生物的生产、生物制药、污水处理、食品加工及环境污染的控制等领域, 因此研究这类模型有非常重要的现实意义.
本文基于对捕食- 食饵模型和chemostat 模型的研究现状,深入系统地研究了两类生物数学模型: 捕食- 食饵模型(一个食饵和两个捕食者的捕食- 食饵模型、带Crowley-Martin 功能反应函数的捕食- 食饵模型) 和非均匀chemostat 模型. 研究内容包括抛物系统正解的渐近行为、正平衡态解的存在性、惟一性、稳定性和多解性. 所涉及的理论方法包括比较原理、上下解方法、扰动理论、不动点指标理论、隐函数定理、正则化理论、分歧理论、Lyapunov-Schmidt 分解法和数值模拟等.
本文的结构和主要内容如下:
第一章介绍了捕食- 食饵模型和chemostat 模型的背景及研究现状, 并列出了后面各章用到的一些预备知识.
第二章研究了具有一个食饵和两个捕食者的捕食- 食饵模型. 首先讨论了平凡解和半平凡解的稳定性并利用比较原理给出了抛物系统灭绝和持续的充分条件.其次, 通过计算不动点指标得到了共存解存在和不存在的充分条件. 接着, 利用空间分解和隐函数定理研究了系统的二重分歧, 得到了正分歧解的近似表达式.结果表明, 当c1 ,c2充分小e1,e2充分大时, 三物种能够共存. 最后,利用Matlab 和差分方法, 通过数值模拟验证和补充了上面得到的理论结果.
第三章研究了一类带Crowley-Martin 反应函数的捕食- 食饵模型.首先利用不动点指数理论讨论了正解的存在性,进而讨论了当b1充分小时, 系统正解的稳定性和惟一性.其次, 利用扰动理论、分歧理论和度理论讨论了当c1 充分大时正解的稳定性和多解性.结果显示参数c1 对正解的稳定性和解的确切个数有很大的影响. 接着, 利用隐函数定理和空间分解讨论了系统的二重分歧正解的存在性, 并运用扰动理论和Lyapunov-Schmidt分解法得到了二重分歧正解的稳定性.最后, 通过数值模拟对本章的理论分析进行了验证和补充.
第四章讨论了一类非均匀chemostat 食物链模型. 首先以b为分歧参数, 利用分歧理论研究了发自半平凡解的局部分歧和全局分歧,得到了物种共存的充要条件. 其次, 运用线性算子的扰动理论和分歧解的稳定性理论研究了一定条件下分歧解的稳定性. 最后, 利用扰动理论和度理论研究了m2充分大时共存解的惟一性和稳定性, 得到了共存解稳定性和惟一性的充分条件. 结果表明如果m2 充分大, 当物种v的最大增长率b 在一定范围内时, 系统存在惟一的渐近稳定的共存解.
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