题目：量子绝热演化理论与可分态的动力学性质

量子绝热定理是量子理论中的一个定律, 它揭示了具有含时哈密尔顿算符的量子系统的演化规律, 同时也提供了求解薛定谔方程的近似解的一种重要方法. 近年来, 量子绝热定理的自洽性受到了许多学者的关注. 量子态的纠缠或可分性反映了量子态的本质特性, 量子纠缠被认为是量子信息处理的重要资源. 本文利用算子理论和矩阵分析理论, 系统研究了量子绝热演化理论与可分态的动力学性质, 给出了经典的绝热定理和绝热逼近误差, 提出了广义量子绝热演化概念, 建立了非自伴量子系统的绝热演化及绝热逼近定理, 揭示了可分态的动力学性质, 得到了四类能够保持初态的可分性的哈密尔顿算符. 本文共分五章, 主要内容如下:

第一章介绍了本文主要内容的研究背景及现状, 并列出了本文要用到的符号, 定义以及定理.

第二章研究了经典量子绝热演化与量子绝热逼近定理. 首先, 用数学语言提出了量子绝热演化的相关概念, 给出了经典量子绝热演化的充要条件. 其次, 在哈密尔顿的特征态构成系统空间的一组正规正交基且基态与其导数正交的条件下, 得到薛定谔方程精确解与绝热逼近解之间的误差上界, 其中误差分别按照差的范数和保真度来衡量, 同时, 得到了绝热逼近的一个充分条件. 最后, 通过例子检验了所得结论.


第三章研究了广义量子绝热演化及量子绝热逼近理论. 首先, 根据量子态的叠加原理, 构造出广义绝热逼近解, 给出了广义绝热演化与广义绝热逼近的数学定义, 得到了广义绝热演化的充分必要条件, 建立了广义绝热逼近误差的一个上界. 最后, 以实例验证了所得定理的正确性.


第四章研究了非自伴量子系统的绝热演化及绝热逼近理论. 首先, 给出了非自伴系统中广义保真度、 A-一致缓慢演化以及 $delta$-A-一致缓慢演化的概念, 得到了非自伴绝热演化的充分必要条件. 其次, 讨论了非自伴哈密尔顿和与其相似的自伴哈密尔顿描述的薛定谔方程解的关系, 估计了非自伴哈密尔顿演化的绝热逼近误差, 通过构造新内积, 得到了相同的绝热逼近误差上界, 给出了$delta$-A-一致缓慢演化的充分条件. 最后, 通过算例说明我们结论的正确性.

第五章研究了可分态的动力学性质. 在两体量子系统中, 利用函数演算与泰勒展开式等工具, 给出了在初态可分的条件下, 使得薛定谔方程的解始终为可分态的四类哈密尔顿算符的具体形式.