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一、简答题

1． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。

（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。

2． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

3． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:

4． 已知为一个算符么正算符？

【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。

5． 如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？ 【答案】是，

其确定值就是在本征态的本征值。

6． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

满足如下的两式

问何为厄密算符？何为

，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）

7． 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

8． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？

【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。

9． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

10．试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

二、计算题

11．一粒子在一维无限深势阱【答案】由一维定态薛定谔方程有

又在边界处应该满足连续条件故

由归一化条件有故对应能量为

12．求一宽度为a 且关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元. 【提示：

【答案】【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为在势阱内有定态方程

处于定态时有

则有

由于势函数满足

设

则波函数满足奇宇称或偶宇称.

】

】

中运动，求粒子的能级和对应的波函数.

（1）满足偶宇称时有则

注意到①有

有

再考虑到归一化条件

注意到波函数乘以一个常数描述的仍为同一个状态，则（2）同理，对奇宇称有

综合（1）（2

）讨论有波函数

本征能量矩阵元即

若m=n, 可得到若

则可得到