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2004年云南大学硕士研究生入学考试试题

专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：《数学分析》

a +a ++a 一、（20分）已知f (x ) = n x 1x 2x n ，其中a 1, a 2, L , a n 为n 个正实数， 1x

求极限（1）lim f (x ) ；（2）lim f (x )

x →0x →∞

1二、（10分）证明：函数f (x ) =e x cos 在（0，1）内非一致连续。 x

sin xx π三、（10分）求证不等式>, x ∈(0, x tan x2

x =3t 2+2t +3

2 x =3t +2t +3四、（15分）设y=y(x)是由方程组 y 所确定的隐函数，求微分 e sint −y +1=0

dy t =0和d 2y t =0

五、（15分）设函数f(x)在[a , b ]上连续，在（a,b ）内二阶可导，弦AB (A (a , f (a )), B (b , f (b ))) 与曲线y =f (x ) 相交于点C (c , f (c )), c ∈(a , b ), 证明：在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得f ' ' (ξ) =0

六、（15分）将函数f (x ) =ln (4x -x 2) 在x=1处展开为幂级数，并求出其收敛域。

y ∂u ∂u ∂2u ∂2u 七、（20分）设u =x f (xy , ), 其中f 具有连续的二阶偏导数，求, , 2, x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y 3

八、（15分）设x i >0(i =1, 2, L , n ), 且x 1+x 2+L +x n =a , 求函数u =x 1x 2L x n 的最大值，并证明不等式x 1x 2x n ≤x 1+x 2++x n n

九、（15分）计算积分∫∫∫(z −y ) 2+(y −x ) 2+(x −z ) 2dxdydz , 其中区域v 由不等v []

式x 2+y 2≤z ≤1表示

十、（15分）计算积分I =(y +1) dx +(z +2) dy +(x +3) dz , 其中L 为圆周L

x 2+y 2+z 2=R 2

, 从x 轴正向看去，L 为逆时针方向 x +y +z =0