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一、计算题

1． 有一位市场调查员，他感兴趣的是该地区成年人中将购买某种产品的比率θ（即该商品的市场占有率）. 现他要事先确定需要访问多少顾客（样本量n=?）才能使先知道

结果又是如何?

是来自二点分布b （1, θ）的一个样本，就是样本中购买此种商品的顾

是θ的置信水

平为0.95的置信区间? 其中是样本中购买此种商品的顾客的比例，d 是事先给定的常数. 假如事

【答案】设

客的比例，由中心极限定理知，当n 较大时，

在θ未知时，有

从而

即

这说明

区间的长度不超过2d ，即得

若α=0.05，

对第二个问题，当己知时，由于

在

当d=0.01, 0.02, 0.03时可分别算得

（或已知

是增函数，所以

样本量

），处理方法完全一样）

从而

这说明

信区间. 类似地，要求该置信区间的长度不超过2d ，即得到

譬如，

若已知

（即

）则

是θ的置信水平1-α的置

于是关于样本量的要求化为

与θ完全

是θ的置信水平1-α的置信区间. 要求该置信

随d 的增加（精度减少）迅速降低.

仍取α=0.05，当d=0.01, 0.02, 0.03时分别算得

那么就应利用这个信息，减少样本量，也即减少调查费用.

未知情况相比样本量约减少25%, 由此可见，若对θ事先有若干信息可利用，得知市场占有率不会超过

2． 试求以下二维均匀分布的边际分布:

【答案】因为在

时, 有

所以X 的边际密度函数为

又因为

在

时, 有

所以Y 的边际密度函数为

可见, 这两个随机变量不相互独立.

3． 一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中有5桶被海水污染了. 若从中随机抽取8桶，记X 为8桶中被污染的桶数，试求X 的分布列，并求E （X ）.

【答案】因为X 的可能取值为0，1，2，…，5，且

将计算结果列表为

表

由此得

的非零区域内,

当

时,

有

所以当

的非零区域内, 当

时, 有

所以当

4． 甲、乙两人进行象棋比赛，每局甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q=l-p.比赛进行到有一人连胜两局为止，求平均比赛局数.

【答案】设X 为决定胜负所需的局数，X 可取2，3，…等正整数值，事件k-1局时没有一人连胜两局，总是两人轮流胜，所以

利用（1）

（2）

公式，可得

又因为对任意的

总有

故由E （X ）是pq 的严增函数可得

这表明：这种象棋比赛决定最终胜负的平均局数不超过3局，它在两选手势均力敌（p=l/2）时达到上界.

5． 为了研究本厂产品垫片与国内外同类产品在耐磨性能上的差别，特选国外一家产品、国内两家产品与本厂产品进行磨损试验，其试验数据用磨损率表示，它是愈小愈好. 磨损率的计算公式是

具体数据如下表所示：

表

1

表示到第

试在正态分布假设下对比四家同类产品的磨损率均值有无显著差异，若有显著差异，再作多重比较（取

）.

【答案】首先计算各平方和

把这些平方和转移至如下方差分析表上，继续计算

表2