2018年复旦大学物理学系720量子力学考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、填空题
1． 判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是_____。
【答案】当物理体系的作用量与A 相比拟时，该物理体系视为量子体系；当物理体系的作用量远大于时，视为经典体系。
2． 普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。 【答案】粒子性；波粒二象性
【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说
爱因斯坦后来将此应用到了光电效应
上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的诞生奠定了基础.
3． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。
【答案】对称性；反对称性
4．
一维谐振子升、降算符、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与密顿量H 用N 或【答案】
、a 的关系是 ; 哈
、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。
5． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率
6． 粒子在一维势阱中运动，波函数为
则
【答案】
则的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
的跃变条件为_____。
二、简答题
7． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量
用算符表示，
当体系处于某个能量态
的作用是得到这一本征值，即
当体系处于一般态
的本征态
时，算符对
的作
时，算符对态
用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即
8．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
9． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。
【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在
用算符的本征函数
展开
态中测量粒子的力学量^
得到结果为
的几率是
得到结果在
范围内的几率
为
10．写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
11．请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
的对易关系.
12．自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
13．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
14．如果算符表示力学量那么当体系处于
的本征态时，问该力学量是否有确定的值？
【答案】是，
其确定值就是在本征态的本征值。
三、计算题
15．已知
【答案】
16．证明
在的本征态下，计算的平均值。
是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量.
式中A 为归一化常数
，
【答案】已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为
本题中波函数
所以
是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2, 因此容易得到其，本征能量为
17．质量为m 的粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动. （a ）建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程. （b ）当粒子处于状态率. 其中（c ）若上式的
分别是基态和第一激发态.
是t=0时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数.
时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概
【答案】（a ）如图建立坐标系，
图
设波函数当当令
哈密顿算符
满足薛定谔方程时，时，
则
的通解可表示为