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一、计算题

1． 设玛分布，即

【答案】

是来自如下总体的一个样本，

，求的后验期望估计. 与的联合分布为

于是的后验分布为

若取的先验分布为伽

这是一个伽玛分布，因而的后验期望估计为

2． 某箱装100件产品，其中一、二和三等品分别为80, 10和10件. 现从中随机取一件，定义三个随机变量

如下

试求随机变量【答案】因为

和

的相关系数

所以有

由多项分布可导出

的联合分布列如下

表

1

譬如，

表2

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由此获得乘积的分布列

所以

由此得

3． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

【答案】记事件为“第i 次取出不合格品”，i=l，2, D 为“有一件是不合格品”，E 为“另一件也是不合格品”. 因为D 意味着:第一件是不合格品而第二件是合格品，或第一件是合格品而第二件是不合格品，或两件都是不合格品. 而ED 意味着:两件都是不合格品. 即

，因为

所以根据题意得

4． 设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，平均需要10分钟，且各件产品的组装时间是相互独立的.

（1）试求组装100件产品需要15小时至20小时的概率； （2）保证有【答案】记知

的可能性，问16小时内最多可以组装多少件产品？ 为组装第i 件产品的时间（单位:分钟），则由

（1）根据题意所求概率如下，再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

（2）设16小时内最多可以组装k 件产品. 则根据题意可列出概率不等式

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

由此查表得

从中解得

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5． 在一批灯泡中抽取300只作寿命试验，其结果如下:

表

在显著性水平为0.05下能否认为灯泡寿命服从指数分布【答案】这是一个检验总体是否服从指数分布

本题中总体分成4类，在原假设成立下，每类出现的概率及

?

的假设检验问题.

分别为

因而，检验的统计量为

这里k=4, 检验拒绝域为由于

，若取

，则

.

未落入拒绝域，故不拒绝原假设，在显著性水平为0.05下可以认为灯泡寿命

服从指数分布此处检验的p 值为

6． 设为自由度为n 的t 变量，试证:的极限分布为标准正态分布

【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知且X 与Y 相互独立. 由Y 的特征函数为考察其极限知

由特征函数性质知

从而由

再按依概率收敛性知

这就证明了

的极限分布为标准正态分布

其中

故的特征函数为

注:此结论也可从自由度为n 的t 分布的密度函数直接导出，只是推算稍微复杂一些.

7． 设随机变量序列

试证:【答案】这时立.

独立同分布，数学期望、方差均存在，且

仍为独立同分布，且

由辛钦大数定律知结论成

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