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一、简答题

1． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:

2． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

二、计算题

3． 设

为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，

某态表示为

在该态下计算（结果应尽量化简）：

（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）

内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿

的几率。

为总角动量，计算在该态下的平均值。

在薄球壳

内找到粒子的概率

【答案】（1）由题意可得：为：

（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：

故：

已知在本征态表象下因此有：

（3）在

下的平均值为：

4． —个电子在沿正Z 方向的均匀磁场B 中运动（只考虑自旋），在t=0时测量到电子自旋沿正X 方向，求在t ＞0时的自旋波函数以及的平均值. 【答案】

在

表象下，

由

可以解得

：

其中

时态矢为：

分别为朝上和朝下时的波函数.

即t=0

时刻电子自选波函数

电子由于自旋产生的能量对应哈密顿量为：故

状态为的本征态，对应本征值为：

t ＞0时刻电子自旋波函数应为

写成矩阵形式，即

而

平均值为

5． 对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求（2）若明其物理意义.

1，说的本征值为±

的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符

（3）对于两个电子组成的体系，若用本征态，证明态矢量【答案】（1）在由

和由

表象中，

分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同

是体系总自旋平方的本征态.

很容易求得

的本征值与本征矢：

的本征方程

（2）

的本征方程

可得，

故

（3）在耦合角动量表象中，总自旋其中

则题中故

是的本征态.

6． 设在平行于y 轴的磁场中，一个电子的哈密顿为旋算符，在t=0时刻，电子处在【答案】粒子的哈密顿量

本征值为

因此定态方程

t 时刻，电子波函数满足：

因为

故：

的共同本征态

其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只能取两个值：

其中，为自的解为：

的本征态，求以后t 时刻电子所处状态的表示式。