● 摘要
算子理论产生于20世纪初,由于其在数学和其它学科中的广泛应用, 在20世纪的前三十年得到迅速发展,近年来 Shorted 算子与 Schur补的研究已成为算子理论研究的热点问题之一. 设 $cal H$ 表示无穷维复可分 Hilbert 空间，我们用 $cal {B(H)}^+$表示 $cal {H}$ 上的所有有界线性正算子全体.设 $A in cal {B(H)}^+ $, $cal S$ 是 $cal H$ 的一个闭子空间，则算子 $A$ 关于 $cal S$ 的shorted算子定义为 $$sum ({cal S}, A)=max {X in {cal B(H)}^+ : X leq Ahbox{ 且 } {cal R}(X)subseteq S},$$ 这里的最大值是在偏序集$(cal {B(H)}, ge)$ 中取得的. 对于正算子$A$ 与子空间 $calS$，设${cal P}(A,{cal S})$为$${cal P}(A,{cal S}) = {Q in {cal P} : R(Q) = S^perp ,AQ =Q^*A},$$ 这里 ${cal P}$ 表示所有幂等算子全体. 若集合${calP}(A,{cal S})$ 是非空的则我们称元素对 $(A,{cal S})$ 是匹配的. 本文研究内容涉及 Shorted算子的几何结构、元素对 $(A,{cal S})$ 的匹配性、正算子的下确界及算子方程的正解问题. 在 Shorted算子方面，对于给定的 $A in cal {B(H)}^+ $，${cal S}subseteq {cal H}$，得到了$sum ({cal S}, A)$的几何结构及元素对 $(A, cal S)$ 匹配的充要条件. 效应代数方面， Hilbert空间上两个效应的下确界问题是确定在何种条件下效应 $A$ 和 $Bin {calE(H)}$的下确界 $Awedge B$ 存在.本文把两个效应的下确界问题推广到两个正算子的下确界问题， 对任意的$A, Bin {cal B(H)}^+$, 得到了下确界 $Awedge B$ 存在的充要条件.在算子方程方面，首先对列算子矩阵$A=left(egin{array}{cc}A_1\A_2end{array}
ight)$ 在 ${cal R}({A_1}^*)cap {cal R}({A_2}^*)={0}$ 的条件下，得到了其 Moore-Penrose广义逆的表达形式，其次对于无限维 Hilbert 空间上的算子方程 $AX=C$的正解问题进行了研究， 得出了算子方程 $AX=C$有正解的等价条件及正解的通式.
本文共分四章：
第一章主要介绍本文要用到的一些符号、概念及定理, 例如正算子, 谱,Shorted算子,匹配性，下确界等概念；同时又介绍了一些熟知的定理如值域包含定理,谱映射定理等.
第二章主要运用算子分块矩阵的技巧来研究 Shorted算子，揭示了任意一个正算子 $A$ 与它的 Shorted 算子 $sum ({calS},A)$ 的几何结构关系. 其次，我们刻画了 $(A, cal S)$的匹配性，这里 $A$ 是一个自伴算子，$cal S$ 是 $cal H$的一个闭子空间; 特别地，当 $A$ 是正算子时对集合 ${cal P}(A,{calS}) = {Q in {cal P} : R(Q) = S^perp ,AQ = Q^*A}$从算子几何结构方面给出了详细刻画, 这里的 ${cal P}$ 表示 Hilbert空间 $cal H$ 上所有幂等算子全体， $S^perp$ 表示子空间 $cal S$ 在$cal H$ 中的正交补空间.
第三章在无限维 Hilbert 空间上, 利用 Shorted 算子来研究两个正算子 $A,Bin {cal B(H)}^+$ 的下确界问题，得到了下确界 $Awedge B$存在的充要条件. 主要结论如下：
(1). 设$A in {cal B(H)}^+$，$P$ 是到闭子空间 $calS$上的正交投影，则 $Pwedge A$ 存在当且仅当 $sigma (sum ({cal S},A))subseteq {0}cup [1,| A|]$或 $sigma (sum ({cal S},A))subseteq [0,1].$
(2). 设$A,Bin {cal B(H)}^+$ 则正算子$A,B$的下确界 $AwedgeB$存在当且仅当$sum ({cal S}_0, A)$与$ sum ({cal S}_0,B)$是可比较的， 这里 $S_0=overline{{cal R}(A)}cap overline{{calR}(B)}$.
第四章我们首先研究了列算子矩阵 $left(egin{array}{cc}A\Bend{array}
ight)$ 在 ${cal R}({A_1}^*)cap {cal R}({A_2}^*)={0}$ 的条件下的 Moore-Penrose逆的表达形式; 然后探讨了算子方程 $AX=C$ 有自伴解和正解的条件，分别得出了算子方程 $AX=C$ 有自伴解和正解的等价条件; 最后给出了算子方程 $AX=C$ 与 $XB=D$ 有公共正解的充要条件.