● 摘要
可再生资源最优管理的目标是达到可持续的发展, 众多数学家、生物学家及经济学家们对这个研究课题非常感兴趣. 渔业资源是可再生资源的重要组成部分, 渔业资源管理追求的是获取最大持续产量或最佳经济效益. 渔业资源管理研究中, 最常用的两个模型是离散的 Beverton-Holt 模型和与其相对应的连续系统 logistic 增长模型. 现在, 大部分文献考察以获得最大持续产量和相应最大种群密度为目标的最优收获策略都基于模型存在一个全局稳定的平衡态或周期解. 也就是说, 上述研究考虑的时间范围是无限的. 然而, 现实中, 我们更关心有限时间范畴(如一个捕鱼季节)的最优收获策略.
本论文中, 我们假设在一个捕鱼季节内某种鱼符合连续的 logistic 增长规律或离散的 Beverton-Holt 模型. 主要目的是研究在各种给定的脉冲收获量和脉冲收获次数的前提下, 如何寻求使得在该捕鱼季节末渔业资源的存储量达到最大的最优脉冲收获时刻.上述最大存储量问题的连续时间模型如下$$left{egin{array}{ll}frac{dN(t)}{dt}=rN(t)left( 1-frac{N(t)}{K}
ight), &t
eq au_k,\N( au_k^+)=N( au_k)-E_k, &t= au_k,\N(0)=N_0,end{array}
ight.$$其中参数 ~$r, K$ 分别是该鱼种群的内禀增长率和环境容纳量.在 ~$ au_k$ 时刻脉冲收获的量是正的常数 ~$E_k$. 自然地, 我们有 ~$N_00$ 且 $k=1,2,ldots,n $. 上述最大存储量问题的离散时间模型如下$$left{egin{array}{ll}N_{t+1}=frac{aN_t}{1+bN_t}, &t
eq au_k, \N_{ au_k^+}=N_{ au_k}-E, &t= au_k,\N_0=N_0,end{array}
ight.$$其中 ~$a$ 为鱼种群的增长率, ~$frac{a-1}{b}$ 为环境容纳量, 正的常数 ~$E$ 为每次脉冲捕鱼的量. 我们假设 ~$a>1$ 及 ~$E<frac{a-1}{b}$ 成立, 进一步我们有 ~$N_{ au_k^+}=N_{ au_k}-E>0$ 为确保该鱼种群在 ~$ au_k$ 世代脉冲收获后不灭绝. 对于考虑的所有脉冲收获策略都给出了最优脉冲收获时刻, 且实现了相关的数值模拟.
进一步, 将上面采用的方法也用于考察害虫管理中的最佳化学控制时刻.我们的结论显示: 害虫爆发初期为最优喷洒杀虫剂的时刻. 与其他任何非爆发初期脉冲喷洒杀虫剂情形相比, 初始脉冲使得种植季节内任何时刻害虫的密度始终最小或在整个种植季节上害虫的平均密度最小.论文中得到的相关结论能为渔业资源管理、害虫综合控制提供定量的决策依据.
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