● 摘要
中国有句谚语:“人往高处走, 水往低处流”, 它揭示了事物运动具有某些共同的趋势.在自然界中, 很多生物运动和化学变化也都具有同一规律. 例如, 从小到分子, 离子, 细胞, 细菌运动, 大到动植物生长, 疾病感染, 肿瘤扩散等, 在微观上, 它们表现为分子作无规则布朗运动, 宏观上表现为物质从浓度高的地方向浓度低的地方运动, 我们把这一现象称为扩散.当然, 生物运动和化学变化过程中伴随着生老病死, 弱肉强食, 聚合分解等, 我们称之为反应. 为了揭示生化反应扩散过程, 人们提出了大量的数学模型. 应用微分方程研究生化动力系统的思想可以追溯到20世纪10--20年代Lotka--Volterra的论著或者更早, 20世纪30年代Fisher将扩散引入到种群遗传动力系统中, 20世纪50年代初Skellam, Turing等人又将扩散引入到种群动力系统和化学反应系统之中, 20世纪60年代, Belusov等人开始深入研究化学反应中的振荡现象, 20世纪70年代以后, 反应扩散系统越来越受到了人们广泛地关注.
本文基于两类生化数学模型的研究现状, 主要运用非线性分析和非线性偏微分方程工具,特别是反应扩散方程(组)和对应椭圆方程(组)的理论和方法, 深入系统地研究了自催化反应扩散模型和具有非单调转换率的Lotka--Volterra模型的动力学行为, 包括正平衡态解的存在性、多解性、稳定性以及长时行为. 所涉及的数学理论包括:上下解方法、比较原理、单调动力系统理论、全局分歧理论、拓扑不动点理论、Lyapunov函数等.本文的主要内容包括以下几个方面:
第一章建立了一般形式的自催化反应扩散数学模型, 详尽列举了基元化学反应模型和Lotka--Volterra模型的研究现状, 介绍了以后章节所需的最大值原理、拓扑不动点理论, 分歧理论等等.
第二章讨论了一类多级自催化模型, 利用锥映射上的不动点指标理论给出系统存在正稳定态的条件. 在齐次Dirichlet边界条件下, 把转化率$c$作为参数, 证明了当$c$适当小时系统没有正平衡态, 当$c$适当大时系统至少有两个正平衡态, 当$c$充分大系统至少有一个正平衡态. 我们还决定了分歧方向以及全局分歧的性质等.
第三章考察了一类二级基元化学反应模型, 在齐次Dirichlet或Robin边界条件下, 利用锥映射上的不动点指标理论给出系统存在稳定态的条件, 利用局部分歧讨论了分歧点附近解的性质, 利用线性化理论讨论了分歧解的稳定性. 利用全局分歧理论讨论解与分歧参数的依赖关系, 计算了分歧的方向, 讨论了参数在无穷远附近解的极限行为以及唯一性, 证明了系统在一维空间非常数稳态解是唯一的.在齐次Neumann边界条件下,利用构造Lyapunov函数方法证明了系统常数平衡态解的全局稳定性条件. 本章的难点在于对共存解的唯一性证明.
第四章研究了一类三级基元化学反应模型--- Schnakenberg模型, 在一维空间和齐次Neumann边界下, 利用Hopf分歧理论给出系统存在周期解的条件, 利用局部分歧讨论了系统存在Turing分歧, 利用数值模拟验证了理论结果, 也进一步说明了系统是一个富动力系统.本章的突出工作在于给出了计算了分歧方向一般方法.
第五章分析了一类带有阶段结构的捕食-食饵模型, 利用线性稳定性的方法分析了半平凡解, 正常数解的稳定性以及长时行为, 利用构造Lyapunov函数方法给出系统常数平衡态解的全局稳定性条件. 利用全局稳定和能量模方法给出了不存在正稳定态的条件, 在先验估计的基础之上, 仔细研究了系统在正常数平衡态解附近的线性化算子的性质, 利用锥映射上的不动点指标理论给出系统存在正稳定态的条件. 本章难点在于正解的有界估计以及拓扑度理论的应用.
第六章分析了一类两物种竞争一种资源的竞争-竞争-捕食模型, 作为一个例子, 我们仔细讨论了功能函数为Holling II的情形. 利用线性稳定性的方法分析了半平凡解, 正常数解的稳定性以及长时行为, 利用构造Lyapunov函数方法给出系统常数平衡态解的全局稳定性条件. 利用全局稳定,能量模方法以及隐函数的方法给出了不存在正稳定态的条件,通过巧妙构造同伦函数, 利用锥映射上的不动点指标理论给出系统存在正稳定态的条件.本章难点在于隐函数定理的应用以及同伦函数的构造.
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