● 摘要
算子代数理论产生于20世纪30年代, 随着这一理论的迅速发展,它已成为现代数学中的一个热门分支，并与量子力学,非交换几何, 线性系统, 控制理论, 数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和互相渗透. 为了进一步探讨算子代数的结构, 近年来, 国内外诸多学者对算子代数上的映射进行了深入的研究, 并不断提出新思路, 如模线性映射, 可交换映射, Lie 映射, 零点(单位)可导映射, 线性保持映射, 函数恒等式等概念的引入, 目前这些映射已成为研究算子代数不可或缺的工具. 本文主要对标准算子代数上满足恒等式的线性映射, von Neumann代数上的广义反可导映射以及上三角矩阵代数上的保I-幂等映射进行了研究, 具体内容如下:
第一章主要对标准算子代数上满足恒等式Φ(A4)= Φ(A)A3+AΦ(A)A2+A2Φ(A)A+A3Φ(A)的线性映射进行了刻画, 证明了存在T ∈B(H)使得标准算子代数上的线性映射Φ具有A→AT-TA的这种形式, 并把这一结果进行了推广.
第二章首先研究了von Neumann代数上的零点(单位)广义反可导的范数连续的线性映射, 证明了它是von Neumann代数上的广义内导子. 其次还证明了von Neumann代数上在单位广义Jordan可导的范数连续的线性映射是von Neumann代数上的广义内导子.
第三章给出了上三角矩阵代数上的保I-幂等的线性映射的具体表达形式.