● 摘要
算子代数理论产生于20世纪30年代, 随着这一理论的迅速发展, 现在这一理论已成为现代数学中的一个热门分支. 它与量子力学, 非交换几何, 线性系统, 控制理论, 数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和互相渗透. 为了进一步探讨算子代数的结构, 近年来, 国内外诸多学者对算子代数上的映射进行了深入的研究, 并不断提出新思路, 如局部映射, 线性保持问题, 零点广义可导映射, 函数恒等式等概念的引入, 目前这些映射已成为研究算子代数不可或缺的工具. 本文在已有结论基础上主要研究了*-算子代数上的拟三重Jordan同构与拟三重Jordan *-同构, 套代数上的局部中心化子和零点σ-可导映射及标准算子代数上的一个恒等式. 文章分为四部分, 具体内容如下:
第一章主要介绍了本文要用到的一些符号, 定义以及本文要用到的一些已知结论和定理. 第二节我们主要介绍了拟Jordan同构, 拟三重Jordan同构, 左和右中心化子, 导子, 广义导子, σ-导子等概念. 第三节主要介绍了一些熟知的命题.
第二章主要对*-代数上的拟三重Jordan同构与拟三重Jordan *-同构进行了研究. 首先, 我们证明了*-代数上每一个拟Jordan同构都是Jordan同构; 同时也证明了有单位元的*-代数上每一个拟Jordan *-同构都是 Jordan *-同构. 进一步地, 我们证明了有单位元的*-代数上每一个拟三重Jordan同构是一个可逆元乘一个Jordan同构; 同时也证明了每一个拟三重Jordan *-同构是一个酉元乘一个Jordan *-同构.
第三章主要针对套代数上的线性映射进行了研究. 首先, 我们证明了套代数上的每一个线性局部左(或右)中心化子都是左(或右)中心化子. 接着, 我们又证明了套代数上每一个范数连续且在零点σ-可导的线性映射δ为如下形式: δ(A)=ψ(A)+λTA, 其中ψ为σ-导子, T为套代数中一个固定的可逆元且λ为一固定常数.
第四章对标准算子代数上满足3Ф(A3)=Φ(A)A2+AΦ(A)A+A2Φ(A)的可加映射Φ进行了研究, 证明了标准算子代数上满足上述恒等式的可加映射Φ为如下形式: Φ(A)=λA. 其中λ为一固定常数. 同时, 我们也证明了半单H*-代数上满足同样等式的可加映射是一个左和右中心化子.