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一、计算题

1． 如图1所示等圆截面半圆环小曲率曲杆，圆杆直径为d ，沿曲杆曲线受垂直于轴线平面且集中为q 的均匀载荷作用。求该杆自由端A 点的铅垂位移，绕x 轴的转角和绕y 轴的转角（必须按能量法计算，且a ≥d ）

图1

【答案】截面

处微线段ds 上分布力的合力为，如图2所示。

dP 对截面产生的弯矩和扭矩为

在所有q 作用下，θ截面的内力为

单独在A 点加铅垂向下的单位力时

单独在A 点加绕y 轴的单位力偶矩时

单独在A 点加绕x 轴的单位力偶矩时

由单位载荷法得A 点铅垂位移

绕x 轴转角

绕y 轴转角

2． 材料为线弹性，弯曲刚度为EI 的各超静定刚架分别如图1所示，不计轴力和剪力的影响，试用卡氏第二定理求刚架的支反力。

图1

【答案】（l ）该结构为一次超静定刚架，解除B 端约束，代之以约束反力x ，得基本静定系统，如图2（a ）所示，建立图示坐标系。由此可得到各段弯矩方程: BC 段

CD 段

DA 段

刚架的应变能:

由变形协调条件知B 点的铅垂位移为零，根据卡氏第二定理可得:

】

解得:

根据平衡方程可得该刚架的支反力分别为:

（2）该结构为二次超静定刚架，解除A 、B 端约束，分别代之以约束反力X 1、X 2，可得基本静定系统，如图2（b ）所示，建立图示坐标系，则有X 1=X2 ① 由此可得各段弯矩方程: AC 段

CD 段

刚架的应变能:

由变形协调条件刚架的水平位移为零，根据卡氏第二定理得:

解得:

, 联立式①可得:

根据平衡条件可得到刚架各支反力:

图2

（3）该结构为一次超静定结构，解除铰链C 的约束，代之以约束反力X ，由该结构对称性知分析左半部分 即可，得基本静定系统如图21（c ）所示，建立图示坐标系，由此可列各段弯矩方程及其偏导数: CE 段

ED 段

DA 段