● 摘要
对于求解大型的线性方程组，迭代方法已取代直接法成为最重要的一类方法。而判断迭代方法好坏的标准通常是通过收敛速度来刻画，因此迭代方法的收敛速度成为一个很重要的问题。从而我们应该找一种收敛速度比较快的迭代方法，这样才有实际的价值。为了更好更快地解线性方程组，我们引进了非奇异预条件矩阵，通过预条件矩阵作用加速了迭代法的收敛速度。本文是在文献[4]-[7]的基础上，提出了在应用上更具有广泛性的预条件SOR迭代方法，本文所用的预条件矩阵包含了前人所提出的一些预条件矩阵，本文中得到的预条件比较定理较之前人的成果更有一般性，预条件比较定理成立的前提条件降低了，由原来线性方程组的系数矩阵A为不可约对角占优的Z-阵扩大为非奇异的M-阵，这就使得预条件比较定理的应用范围扩大了。
下面介绍本文的结构和主要内容:
第一章 首先回顾了所有提出的预条件矩阵; 其次说明了Milaszewicz[12]、Gunawardena et al.[4]、
Kohno et al.[7]、Evans et al.[3]、Hadjidimos et al.[5]和Niki et al.[14]中所提出的预条件矩阵之间的关系;最后叙述了Gunawardena et al.[4]等人在不同预条件矩阵下提出的不同的迭代方法和得到的一系列预条件比较定理。
第二章 预备知识部分。这部分主要是为第三章做准备，首先指出了第三章要用的定义和定理，例如M-阵、正规分裂的定义等；其次指出了在得到预条件比较定理时常用的方法，其中分成两种情况:对同一矩阵的两个分裂和不同矩阵的两个分裂。 因此针对这两种情况在得到比较定理时所用的方法不同，有些情况下也可以化成同一矩阵的两个分裂来进行比较，例如L.-y.Sun[15]中的比较定理的证明就是从原来不同矩阵的两个分裂化成同一矩阵的两个分裂，然后再进行谱半径的比较。
第三章 预条件SOR迭代方法及其比较定理。这部分是本文的主要部分，首先在Niki et al.[14]
提出的预条件矩阵和Gunawardena et al等人提出的预条件Gauss-Seidel迭代方法
的基础上(其中Niki所提出的预条件矩阵包含了Gunawardena et al.[4]中的预条件矩阵和Evans et al.[3] 中的预条件矩阵，作者提出了在Ｎiki所提出的预条件矩阵的预条件SOR迭代方法。当SOR迭代法中的实参数等于1时，本文的预条件SOR迭代方法即为Niki et al.[14]中的预条件Gauss-Seidel迭代方法，这推广了Niki et al.[14]中的迭代方法;其次在线性方程组的系数矩阵A是非奇异的M-阵的前提下，得到了一系列的比较定理，这推广了Niki et al.[14]中的线性方程组的系数矩阵A为不可约对角占优的Z-阵的前提。
第四章 数值例子。这部分主要是为了验证第三章的结果，其中例4.1和例4.2的系数矩阵A为不可约对角占优的Z-阵,而例4.3和例4.4是可约的非对角占优的M-阵,不满足Niki et al.[14]中比较定理的条件,
但是满足本文第三部分比较定理的前提,这说明本文的定理在应用上更具有广泛性。