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一、简答题

1． 完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

的几率。

位置

在

处的几率密度

；

试述

及

2． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）

3． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

函数的数目称为“简并度”。

4． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？

【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征

量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.

5． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的

每条光谱线都分裂为

条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外

电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

6． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系时有确定的测值。

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物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

7． 什么是隧道效应，并举例说明。

【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。

8． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子归一化。

9． 如果算符

如果

对整个空间积分也等于1。

对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？

【答案】是，

其确定值就是在本征态的本征值。

10．什么样的状态是定态，其性质是什么？

【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

二、计算题

11．某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种

：

（1）无自旋全同粒子。 （2）自旋

的全同粒子（例如电子）。

【答案】（1） s=0, 为玻色子，体系波函数应交换对称。

有如下六种：

（2）

单粒子态共有如下六种：

任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如：

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试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。

体系态共有或者，

从

种，即十五种。

三种轨道态任取两个，则可以构成一种轨道对称

态

及一种反对称态

态，共三种。 后者应与自旋三重态但轨道对称态还有3+3+9=15种。

12．考虑自旋为的系统。 （1）试在

表象中求算符

前者应与自旋单态相乘，而构成体系反对称

相乘而构成体系反对称态，共3×3 = 9种。

型，共三种型，各与自旋单态配合，共三种体系态，故体系态共

的本征值及归一化的本征态。其中是角动量算符，

而4、5为实常数。

（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。 【答案】（1）设设本征值为

有

则在

设

解得本征态为：

（2）在

表象中，

的本征态为

故发现

的概率为：

13．

若有已归一化的三个态交，归一的新的态矢量

【答案】因为设由

所以

和

和]

贝IJ :

得：

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表象中

为归一化的本征态，

则由本征方程

且有试用Schmidt 方法构成正