● 摘要
自从C. J. Mulvey于1986年提出Quantale概念以来,Quantale理论受到了数学家和逻辑学家的关注.对它的研究涉及到非交换C*代数,环的理想理论,逻辑和计算机科学等诸多领域.Quantale自身具有丰富的序结构和代数结构,与此相关的拓扑结构以及范畴结构也有丰富的研究内容.本文对连续Quantale、双Quantale模及双Quantale模范畴的若干性质作了较为细致而深入的研究.本文的主要内容如下: 第一章 预备知识. 本章给出了将要用到的Quantale理论和范畴理论的基本概念和结果.
第二章 连续Quantale的若干性质. 首先给出了半连续Quantale和连续Quantale的定义,在此基础上对正则Quantale、半连续Quantale和连续Quantale三者之间的关系进行了比较,得到了在一定条件下半连续Quantale是连续Quantale,讨论了连续Quantale的一些相关性质,得到了一族连续Quantale的积仍然是连续Quantale.其次,给出了连续Quantale上理想的概念,讨论了连续Quantale的理想的一些性质.最后,讨论了连续Quantale范畴的性质,证明此范畴是点化的、连通的,而且还探讨了连续Quantale范畴中的投射、乘积.
第三章 双Quantale模的性质.首先给出了双Quantale模的概念,在此基础上讨论了双Quantale模的若干性质.其次,探讨了双Quantale模的子模与理想之间的一些关系.由一个理想可以确定出一个双Quantale模的子模.最后给出了双Quantale模中的同余和核映射的定义,研究了双Quantale模中的同余和核映射的一些性质.得到了任意双Quantale模的满同态像都同构于某一双Quantale模核映射 的像,证明了双Quantale模上所有的同余构成的完备格与所有的核映射构成的完备格是同构的.
第四章 双Quantale模范畴.首先证明了双Quantale模范畴是点化范畴,讨论了双Quantale模范畴中的等子、余等子、乘积和集体拉回,得到了双Quantale模范畴中等子、余等子、乘积和集体拉回的具体结构.证明了双Quantale模范畴是连通的.还证明了双Quantale模范畴中的每一个投射都是收缩,双Quantale模范畴有核、余核.其次,给出了双Quantale模范畴极限的具体结构.最后,研究了双Quantale模范畴中的逆系统的相关性质,得到了逆系统的逆极限结构,引入了两个逆系统之间映射的定义,由此导出了双Quantale模范畴中的两个逆系统的极限之间的极限映射.