2017年上海市培养单位上海应用物理研究所811量子力学考研导师圈点必考题汇编
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一、填空题
1． 总散射截面Q 与微分散射截面
的关系是_____。
【答案】
2． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。
【答案】
3． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。
【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子
4． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。
【答案】对称性；反对称性 5．
【答案】主；角；磁；
6． 如图所示，有一势场为：
为氢原子的波函数（不考虑自旋），
分别称为_____量子
数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。
，当粒子处于束缚态时，£的取值范围为_____。
图
【答案】
二、简答题
7． 什么样的状态是定态，其性质是什么？
【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均
值不随时间改变
8．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
9． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。
10．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为
测不准关系为
11．—个量子体系处于定态的条件是什么？
【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。
12．什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？
【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.
13．分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
问
是否
的对易关系.
14．如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为
.
则对任意波函数
完全系为有：
可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。
依题意
三、证明题
15．证明，
【答案】因为
可得：
16．（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符
证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.
因为存在
数
（2）证：因为而（3）因为
所以
即正交
而
所以
设本征方程为
其中为本征值，上式可改写为
易解出
C 为积分常数，可由归一化条
即为厄米算符。
具有周期性，
所以
即本征值为实
【答案】（1）证：对于厄米算符
件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制，
由此可得数记为
即为其本征函数. 相应的本征方程为
即角动量z 分量的本征值为
是量子化的，相应本征函
再利用归一化条件可得
四、计算题
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