● 摘要
特殊矩阵, 诸如非负矩阵、正定矩阵、中心对称矩阵、M矩阵等,在控制理论、工程计算、模式识别、数字信号处理、优化理论等研究领域具有广泛的应用.关于特殊矩阵性质的分析和数值计算问题也随之成为人们研究的热点.本文主要研究了几类特殊矩阵的特征值估计及数值计算,矩阵不等式和约束矩阵方程问题. 主要内容和结构如下:(1) 第一章为引言和背景介绍. 本章主要介绍了非负矩阵、正定矩阵、中心对称矩阵、M-矩阵的基本概念和性质,阐述了相关问题的发展现状及本文的主要工作.(2)第二章主要讨论了非负矩阵谱半径(也即Perron根)的估计和数值计算方法.基于Collatz-Wielandt函数和广义Perron补,本章提出了两个计算非负矩阵谱半径的数值算法并证明了算法的收敛性.对非负矩阵一个重要的子类-中心对称非负矩阵的谱半径,本文给出了中心对称非负矩阵谱半径的约化性质,并在此基础上改进了Lederman在文献[14],Ostrowski在文献[15],Bruaer在文献[16]中关于非负矩阵谱半径上界的估计结果,给出了计算非负中心对称矩阵谱半径的改进算法和相应的验证算例.(3)第三章主要讨论了正定矩阵的Frobenius条件数不等式,迹不等式和Kantorovich型不等式.本章首先推广了文献[84]中关于正定矩阵的Frobenius条件数的下界估计结果,证明了中心对称矩阵关于Hadamard乘积封闭性,并据此对具有中心对称结构正定矩阵的迹不等式(文献[112]中的结果)进行了改进.同时,本章还分别对文献[89]、[107]中提到的关于正定矩阵的若干Kantorovich型不等式进行了改进.(4)第四章主要讨论了(R,S)斜对称矩阵,Hermitian反射矩阵和对称箭形矩阵的几类约束矩阵方程问题.对于矩阵方程AXB=C,利用广义奇异值分解给出了其存在(R,S)斜对称解的充分必要条件及其通解的表达式.对于广义Sylvester方程,本章给出了求其Hermitian反射解及相应的最佳逼近问题的数值算法,证明了算法的收敛性. 对于矩阵方程AXB+CYD=E,利用Moore-Penrose逆和Kronecker乘积,给出了其对称箭形解存在的充分必要条件.(5)第五章主要讨论了M矩阵的最小特征值的数值计算方法和(广义)中心对称M矩阵的性质.证明了(广义)中心对称M矩阵正交相似于一个准对角矩阵,并且每一个子矩阵块仍然还是M矩阵,同时还讨论了其对Hadamard乘积的封闭性等问题.
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