2017年西安交通大学前沿科学技术研究院722量子力学考研强化模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为
.
则对任意波函数
完全系为有：
可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。
2． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.
叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.
3． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。
选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：
4． 简述波函数的统计解释。
圆偏光选择定则：
为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合
依题意
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
5． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。
6． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的
每条光谱线都分裂为
条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外
电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
7． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
的几率密度；
8． 写出泡利矩阵。 【答案】
9． 写出在【答案】
10．自旋可以在坐标表象中表示吗？
表象中的泡利矩阵。
表示粒子在
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
处
的几率密度。
表示粒子在
|
处
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
二、计算题
11．一质量为m 的粒子，可在宽为a 无限深势阱当中自由运动. 在t=0的初始时刻其波函数为
其中A 为实常数. （1）求A 使平均值？
（3）求t 时刻的波函数
满足归一化条件.
（2）如果进行能量测量，则能得到哪些能量值? 相应取这些能量值的概率又是多少? 再计算能量的
【答案】（1）无限深方势阱中粒子的本征波函数为初始时刻波函数可化为
由归一化条件有
（2）无限深方势阱中粒子的本征能量为
解得
.
故粒子可能测得能量即
测得能量的平均值为（3） t 时刻波函数为
12．求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，
哈密顿量为
【答案】记常数，且x ，p 换为
则哈密顿量可时的哈密顿量
对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以
13．粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若
是薛定谔方程的两个解，证明
与时间无关.
相比，相差一
（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式. 【答案】⑴
取式（1）之复共轭，得
得
对全空间积分： 即