● 摘要
孤波(即solitary wave，也有的文献译为孤立波)是流体力学、等离子体物理以及其他领域中普遍存在的一种非线性现象。在流体力学领域，尤其是在辽阔的海洋上，孤波现象几乎遍及世界上所有海域。如果在描述孤波现象的物理模型中考虑了介质的非均匀性以及边界条件的不一致性，那么，包含有广义项的变系数物理模型相比于常系数模型能更好地描述自然界中孤波的内在机制以及孤波的传播规律。在实际的科学与工程问题上，求解这些含有广义项的变系数物理模型的解析解(包括周期解以及多孤子解)一直是这一领域科学家们研究的一个重要课题。 本文将求解常系数物理模型孤子问题比较有效的几种方法进行了推广，使得这些适用于常系数物理模型的方法经过推广后可以用来求解某些变系数物理模型，特别是可以求解在流体力学领域中有广泛应用的含广义项的变系数Korteweg-de Vries (KdV) 模型以及变系数Kadomtsev-Petviashvili (KP) 模型。 本文研究的流体力学模型主要有：一般的含变系数 KdV模型、含各种广义项的变系数 KdV模型(如包括微扰动项、耗散项以及外力项的广义变系数KdV模型)、含微扰动项的变系数KP模型。这些模型在流体力学、等离子体物理等诸多领域都有着广泛的应用，特别是这些模型能够比较好地描述流体在非均匀界面中的非线性孤波的传播。 本文主要内容包括以下几个方面：(1)、在求解常系数非线性发展方程孤子问题一种有效方法(即Hirota方法)以及求解变系数非线性发展方程均衡作用法的基础上，提出了求解变系数物理模型多孤子问题的变系数双线性方法，用于求解广义变系数KdV模型和变系数KP 模型；(2)、将构造常系数非线性发展方程多孤子解的自Bäcklund变换方法推广到含有广义项的变系数KdV模型并导出该模型不同表达形式的自Bäcklund 变换；(3)、将流体力学、等离子体物理等领域中描述非线性波动现象的广义变系数KdV 模型和变系数~KP模型变换为某些已知的物理模型，通过这些已知模型的解来构造所对应的变系数模型的解；(4)、将Wronskian 技术推广到含有广义项的变系数KdV模型，使得广义变系数KdV模型的多孤子型解(在本论文中，为了便于区分变系数模型的解与常系数方程解之间的差异，我们称常系数方程的解为孤子解，称变系数模型的解为孤子型解，即soliton-typed solution)的表达形式同常系数方程一样简明清晰并对解的准确性进行了验证；(5)、利用Wronskian技术，验证了广义变系数KdV 模型N-孤子型解和 (N-1)-孤子型解之间的自Bäcklund 变换 。 本文的主要方法、结论及内容的具体安排为：一、求解变系数非线性发展方程变系数双线性方法本文的第二章，在 Painlevé 可积条件约束下，吸取了Hirota方法与变系数均衡作用法的核心，并在此基础上提出了求解变系数物理模型多孤子问题的变系数双线性方法，将含有微扰动项、耗散项以及外力项的广义变系数KdV模型通过适当的变量变换关系转化为它的变系数双线性形式，并在变系数双线性形式的基础上得到了广义变系数KdV模型的多孤子型解。为了具体研究系数函数以及各广义项对该模型所描述的波动传播的影响，利用计算机符号运算软件，对模型的多孤子型解进行了绘图、分析和讨论。将变系数双线性方法扩展到二维系统，即含微扰动项的变系数KP模型，导出了该模型的变系数双线性表示形式并得到了该模型的单孤子型解和双孤子型解。通过图形模拟分析，对所描述的波动现象进行了讨论。二、构造变系数KdV 模型自Bäcklund 变换的不同方法求解一个物理模型多孤子解的方法有很多，其中自Bäcklund变换是一种非常有效的手段。对于含广义项的变系数KdV模型，在现已发表的文献中并没有系统地研究如何构造它的自Bäcklund变换。在本文的第三章，作者系统地研究了构造含广义项的变系数KdV模型自Bäcklund 变换的不同方法以及自Bäcklund变换的不同表示形式。涉及到的方法有变系数双线性方法、截断Painlevé展开法，扩展的变系数均衡作用法以及利用Lax 对获得自Bäcklund变换的方法。在本章中我们还首次证明了运用截断Painlevé展开法和扩展的变系数均衡作用法得到的自Bäcklund变换中超定方程的相容性。在第三章的后半部分，我们证明了变系数KdV模型自Bäcklund变换各种表达形式之间是可以相互转换的。同时，在Painlevé可积条件约束下，我们还证明了广义变系数KdV模型还具有非线性叠加公示以及无穷守恒律等性质。三、 将变系数物理模型转化为某些已知的模型及其应用为了获得变系数物理模型更多的信息，如周期解、多孤子型解等，在本文的第四章，我们讨论了如何将几个含有广义项的变系数模型通过变量变换转换为某些已知的标准模型或可直接求解的模型，同时对变换所需要的约束条件进行了分析和讨论。在本章的后半部分，将所得到的变换关系应用到几个具体的流体力学模型，得到了几组新的解析解。通过对图形模拟分析，讨论了解析解所描述的波动的传播问题，此外还对解析解所反映的力学性质以及变换本身的实际意义进行了讨论。四、变系数KdV 模型多孤子型解Wronskian行列式表示及其验证利用Hirota 方法和Bäcklund变换等方法可以求一个物理模型的多孤子解，利用这些方法得到的解析解在形式上往往是非常复杂的，导致了对解的验证过程就更加复杂，有时甚至无法实现。Wronskian技术以其行列式特有的性质，通过将模型的多孤子解表示成Wronskian行列式的形式，使得验证工作变得简洁而明了。在本文的第五章，作者将这一技术进行了适当的推广，证明了含有广义项的变系数KdV 模型多孤子型解同样可以表示成Wronskian行列式的形式，同时进一步验证了N-孤子型解和(N-1)-孤子型解之间满足模型本身的自Bäcklund 变换。通过对Wronskian行列式形式解的分析，我们对含有广义项的变系数KdV模型的多个孤波碰撞问题进行了讨论。 作者希望本文所提供的对若干变系数非线性发展方程的研究方法，如变系数双线性方法、获得自Bäcklund 变换的方法、Wronskian技术以及将变系数非线性发展方程转化为常系数方程等方法，对于研究其他类型的变系数非线性发展方程有一定的借鉴作用。同时，希望本文所使用的方法，对于获得描述海洋中孤波现象等具体物理模型的解析解，特别是多孤子型解，从而进一步了解和掌握海洋中孤波的机制以及传播规律，为海洋上军事活动提供一些有参考价值的数据有一定的帮助。关键词：流体力学，孤波，海洋孤波，变系数物理模型，变系数双线性方法，自Bäcklund 变换，变量变换，Wronskian技术，孤子型解，弹性碰撞，计算机符号计算