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一、填空题

1． 粒子在一维势阱中运动，波函数为

则

【答案】 2．

表示_____，几率流密度表示为_____。

则

的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

的跃变条件为_____。

【答案】几率密度；

3． 普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。 【答案】粒子性；波粒二象性

【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说

爱因斯坦后来将此应用到了光电效应

上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的诞生奠定了基础.

4． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】 5．

为氢原子的波函数（不考虑自旋），

的关系是_____。

分别称为_____量子

数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。 【答案】主；角；磁；

6． 总散射截面Q 与微分散射截面【答案】

二、简答题

7． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】

利用

的几率密度；

8． 如果算符

表示粒子在

如何归一化？解释各项的几率意义。

进行归一化，其中

：

处

的几率密度。

表示粒子在

|

处

表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？

【答案】是，

其确定值就是在本征态的本征值。

9． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

10．简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。

【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在

用算符的本征函数

展开

态中测量粒子的力学量^

得到结果为

的几率是

得到结果在

范围内的几率

为

11．写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系

物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

时有确定的测值。

12．如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

13．什么样的状态是定态，其性质是什么？

【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

14．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

依题意

三、证明题

15．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

表示所属的本征函数，则

因为是厄密算符，于是有

由此得

16．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】

即是实数。

所以

四、计算题

17．设一维简谐振子的初始（t=0）波函数为

为简谐振子的三个（n=0, 1，2）最低能量的定态波函数. 试求 （1）系数A = ? （2）t 时刻的波函数（3）t 时刻的能量平均值.

【答案】（1）由波函数的正交归一化条件有

故

其中

（2） —维谐振子能量为故

t 时刻波函数为

（3）

各自对应概率为

7

均与时间无关，故t 时刻粒子能量平均值为

18．考虑一维双势阱：

（1）推导在x=a处波函数的连接条件. （2）对于偶宇称的解，即

求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本

其中