● 摘要
现代控制系统的自动化程度以及复杂度不断提高, 极大地促进了社会生产和科学技术的发展. 在系统设计中, 人们对系统稳定性和安全性等性质的要求越来越高, 特别是对于一些稳定性、安全性要求高的系统, 例如航空航天系统、电力系统、生态系统以及核(化学)反应器等, 设计中的任何疏漏都有可能造成灾难性的后果, 如美国 F/A-18 大黄蜂的”落叶飘” 模式以及软件失效导致1996年6月欧洲 Ariane 五型火箭失败. 因此对系统稳定性与安全性验证的研究有着非常广泛的应用前景和重大的现实意义. 近年来, 分析系统稳定性的 Lyapunov 函数、吸引域以及验证系统安全性的可达集已得到广泛研究,
并取得了一些重要结果. 但还面临着一些挑战, 例如怎样有效计算精确的 Lyapunov 函数、估计系统尽可能大的吸引域以及低估计其可达集等.
本文的主要贡献主要有以下几部分组成:
一、针对 Lyapunov 函数构造问题, 本文基于局部正定函数的性质以及实根分类方法提出了一个针对多项式系统的精确二次型 Lyapunov 函数的生成方法; 进一步结合投影算子, 把此方法推广到了计算一类切换系统的精确多项式多 Lyapunov 函数. 此方法既避免了线性矩阵不等式以及平方和分解等数值方法的浮点误差, 又比传统量词消去方法的复杂性低.
二、针对吸引域估计问题, 本文在目标区域为多项式系统的一个初始吸引域的前提下, 从可达性的角度, 借助于一个类 Lyapunov 函数, 提出了一个通过估计目标区域的不变内核来估计其吸引域的方法. 在我们的方法中, 类 Lyapunov 函数的李导数只需在目标区域外为负, 与经典的 Lyapunov 函数相比, 此函数在吸引域估计中的条件更弱, 可以得到更好的结果; 此外, 此方法不同于离散状态空间的方法, 复杂性性更低, 可适用于更高维系统.
三、对一般的非线性系统, 目前没有有效的方法计算其可达集的低估计. 通过捕捉可达集的边界, 本文首先提出了一个结合区间泰勒算法、凸包算法以及线性规划计算可达集凸低估计的方法; 进一步提出了结合区间泰勒算法以及半定规划计算可达集非凸低估计的方法. 实验结果表明, 上述两种方法是有效的.