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一、填空题

1． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象

；

2． —个电子运动的旋量波函数为

则表示电子自旋向上、位置在处

的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】

3． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性

4． 一质量为的粒子在一维无限深方势阱为_____, 能级表达式为_____。 【答案】

中运动，其状态波函数

5． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】

6 设体系的状态波函数为．量

的关系为_____。

如在该状态下测量力学是F 在确定的值则力学量算符与态矢

【答案】

二、简答题

7． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:

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8． 写出泡利矩阵。 【答案】

9． 厄米算符的本征值与本征矢

分别具有什么性质？

【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

10．写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系

物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

时有确定的测值。

11．试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。

12．自发辐射和受激辐射的区别是什么？

【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；

受激辐射是处于激发能级低能级

的原子被一个频率为

的光子照射，受激发而跃迀到较

同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机

的。

13．试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

14．什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？

【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

三、计算题

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15．设限制在边长为L 的立方体中的单粒子的本征能量与本征波函数是已知的，其中基态是非简并的，而第一激发态与第二激发态都是3重简并的. 具体而言，基态的本征能量与轨道波函数分别为

第1激发态的本征能量与轨道波函数分别为

第2激发态的本征能量与轨道波函数分别为且前三个单粒子能级是等间隔的.

设由4个上述单粒子构成的全同粒子体系，限制在边长为L 的立方体中. 计算体系的较低的2个本征能量及相应的简并度.

【答案】题中并未给出粒子是费米子还是玻色子，故分两种情况讨论： 由题意可知（1）粒子为费米子

此时粒子应该遵守泡利不相容原理，每个波函数最多容下两个粒子. 体系最低能量：对应波函数有

其简并度为6. 体系第一激发态能量（2）粒子为玻色子

此时粒子不受泡利不相容原理约束， 体系最低能量：体系第一激发态能量为：

16．考虑一维双势阱：

（1）推导在x=a处波函数的连接条件. （2）对于偶宇称的解，即征值的数目.

【答案】（1）薛定谔方程可表示为

OT 为粒子质量，

为方程的奇点，在x=a

点处

对上述方程积分

得出

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Ⅰ

其简并度为：3×3=9.

其简并度为1.

其简并度为3.

其中

求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本

不存在，表现为不连续。