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青岛科技大学2005年研究生入学考试试卷

考试科目：高等代数（试卷A ）

一（25分）. 设V 2是数域F 上的2维线性空间，A 是V 2上的线性变换，ε1, ε2是V 2的一组基，

21 A (ε1, ε2)=(ε1, ε2) ，并设(η1, η2)=(ε1, ε2)−10

求：线性变换A 在基(η1, η2)下的表示矩阵。 K 1−1 −12 ，

2二（25分）. 设λ是非零实数，已知n 阶方阵A 满足A −A −λE =0，

证明：A 及A +λE 都可逆，并求它们的逆。

三（25分）. 设n (n >1)阶方阵A 的伴随矩阵为A ， *

证明：①当A =0时A =0 ②当A ≠0时A =A **n −1 四（25分）. 设ε1, ε2, ε3, ε4是线性空间V 4的一组基，线性变换A 在这组基下的表示矩阵为

10 −12A = 12 2−2 21 13 , 求A 的值域与核。 55 1−2

五（30分）. 设A 1, A 2, A 3, A 4皆为n 阶方阵

A 1①若A 1, A 3皆可逆，求矩阵A = A 2

②若A 4可逆，且矩阵B = 0 的逆矩阵。 A 3 A 1

A 2A 3 −1−1可逆，试证A −A A A ( 1342)存在，并求B 的逆。 A 4

六（20分）. 设α1, α2, L , αn 是n 维线性空间V n 的一组基，A 是n ×s 矩阵，并且(β1, β2, L , βs )=(α1, α2, L , αn )A ，求证dim Span (β1, β2, L , βs )=rank A 。 其中: Span (β1, β2, L , βs )表示向量组(β1, β2, L , βs )生成的子空间，rank A 是A 的秩。