● 摘要
随机偏微分方程在模拟复杂的物理和工程现象中是非常有效的模型, 在力学、生物学、化学、微电子学、经济学和金融学等领域中都有重要的应用. 带有分数阶Brownian运动的随机偏微分方程能够更精确地描述具有自相似性和长相关性的自然现象, 例如树的年轮的宽度、河水水位、太阳活动特征、股票收益、金融动荡和自由电力市场的电价等. 近年来, 随着应用领域的不断发展, 随机偏微分方程以及分数阶噪音扰动的随机偏微分方程在理论和数值方法上取得了很大的进展, 出现了许多有意义的研究成果.
随机弹性方程是一类典型的四阶双曲型方程, 在物理学、生物学、海洋学和结构工程学等领域有着广泛的应用, 因此对随机弹性方程数值方法的研究以及对分数阶噪音扰动的随机弹性方程的研究是一个非常有意义的工作. 本文研究两类分数阶噪音扰动的随机弹性方程, 分数阶随机Volterra方程以及随机弹性方程的差分方法.
对于带有可加无穷维分数阶噪音的半线性随机弹性方程, 首先通过对随机弹性方程所对应的线性随机问题的研究, 应用分数阶Brownian运动的Wiener型积分与Ito随机积分之间的关系证明了随机卷积的正则性. 基于随机卷积的正则性, 再应用Picard迭代的方法得到了随机弹性方程解的存在唯一性和正则性.
对于带有可乘多参数分数阶白噪音的随机弹性方程, 对一维空间变量和任意维空间变量的情况, 我们分别进行了研究. 应用分数阶白噪音分析的Wiener chaos展开和待定系数法, 得到了方程解的Wiener chaos展开系数的递推公式, 由递推公式对Wiener chaos展开系数进行了估计, 最终得到了解在Hida分布空间中的存在唯一性, 给出了解在Hida分布空间中的Lyapunov指数和Holder指数估计.
对于带有可加无穷维分数阶噪音的卷积形式的分数阶随机Volterra方程, 基于分数阶Volterra方程的豫解函数显式公式和Mittag-Leffler函数的性质, 得到了随机卷积过程的存在性和唯一性. 对于Hurst参数大于1/2和小于1/2两种情况, 以不同的方法对随机卷积正则性进行了证明. 理论分析结果表明, 解的正则性随着Hurst参数的增加而增加.
对于随机弹性方程的差分方法, 对空间时间白噪音扰动的随机弹性方程的差分方法和无穷维噪音扰动的随机弹性方程的差分方法我们分别进行了研究. 通过对噪音项的分片常数逼近, 构造了带有空间时间白噪音随机弹性方程的全离散差分格式. 基于对Gronwall不等式和Burkholder不等式的应用, 证明了格式的Lp收敛性并得到了收敛阶.
通过噪音项的分片常数近似和解的积分公式的截断级数近似, 得到了无穷维噪音扰动的随机弹性方程的一个显式差分格式. 通过误差理论分析, 得到了格式的收敛阶. 在数值实验中结合Monte-Carlo方法, 两类方程的差分格式的实验结果与理论分析是一致的.