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一、填空题

1． —粒子的波函数为【答案】

2．

一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】

3． 粒子在一维势阱中运动，波函数为

则

【答案】

则

、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与

、a 的关系是 ; 哈

写出粒子位于

间的几率的表达式_____。

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。

的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

的跃变条件为_____。

4． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换

5． 一粒子的波函数【答案】

的整数倍；对称变换 则粒子位于

间的几率为_____。

6． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率

二、简答题

7． 厄米算符的本征值与本征矢

分别具有什么性质？

【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

8． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。

【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。

微观粒子的状态波函数则在

用算符的本征函数展开

得到结果在

范围内的几率

态中测量粒子的力学量^

得到结果为

的几率是

为

9． 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

10．以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即

11．什么是隧道效应，并举例说明。

【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。

12．请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

13．解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

14．波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？么？

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。

表示在时刻附近

体积元中粒子出现的几率密度。

的物理含义是什

三、计算题

15．设无外势场时，质量为能量为E ＞0的粒子的状态用球面波描写. 试 （1）导出决定S 波（1=0）波函数的常微分方程； （2）求出所有S 波的球面波波函数；

（3）计算对应于S 波解的速度流矢量并作出图示.[南京大学2009研]

【答案】（1）无外势场可看做有心势场的特殊情况. 则粒子在球坐标系中薛定谔方程为

在s 波情况下，令则（2）

故对应波函数为

其中A 为归一化系数. （3）概率概率流密度公式为球坐标系中

明显与角度无关，故对应概率流密度的三个分量为

而同理

故

16．两个自旋为

的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子间的相互作用为

其中c 为

实常数。设t=0时粒子1的自旋沿z 轴的正方向，粒子2的自旋沿z 轴的负方向，要求： （1）给出H 的本征值，并给出t ＞0时体系处的状态