● 摘要
Quantale模的概念是由Abramsky和Vickers 在1993年提出,其背景在于给运算语义学,指称语义学,公理语义学等提供新的数学模型.Quantale模可被看作有限观测性质的代数,加之其具有丰富的序结构,代数结构和拓扑结构,这些使得它成为诸多数学家和逻辑学家关注的热点.在短短的二十年中,有关Quantale模理论的大量新的观点及应用相继给出.核映射与余核映射,理想与同余是研究Quantale模理论的重要工具,本文一方面对Quantale模中核映射与余核映射、理想与同余的若干性质,及其关系作了细致而深入地研究,从而丰富了Quantale模理论内容.另一方面,从范畴论角度讨论了对合左Q-模范畴的一些性质.本文主要内容安排如下:
第一章 预备知识. 本章给出了本文将要用到的Quantale理论、范畴理论中的基本概念和结论. 第二章 Quantale模核映射与余核映射. 本章首先研究了左Q-模余核映射的相关性质，给出了左Q-模上一个映射是余核映射的等式刻画.其次讨论了Dual双模,Girard双模与对合左Q-模的关系,并分别给出了它们的一些性质及其等价刻画.最后证明了任意双Q-模都可嵌入到Girard双模,并且当Quantale是对合Quantale时,任意左Q-模都可嵌入到对合左Q-模中,证明了Girard双模与对合左Q-模上的核映射与余核映射都是一一对应关系. 第三章 Quantale模中的理想与同余. 本章给出了Quantale模M中的heterogeneous理想与heterogeneous同余的定义,证明了此理想构成的集合Idl(M)与同余构成的集合Con(M)都是完备格.当完备格中理想与同余固定时,构造了最小与最大的Quantale模理想和同余.引入了同余的核和由理想生成的同余的概念,证明了Idl(M)与Cong(M)构成Galois伴随. 第四章 对合左Q-模范畴. 本章首先讨论了此范畴的乘积和等子,并给出了它们的具体结构,证明了对合左Q-模范畴没有零对象.其次给出了对合左Q-模范畴的极限结构,同时得到此范畴是完备范畴且具有拉回等性质.最后给出了对合左Q-模范畴中逆系统的逆极限的定义,引入了两个逆系统之间映射的定义,并导出了对合左Q-模范畴中两个逆系统的逆极限之间的极限映射.
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