● 摘要
谱对与Tiling对存在某些确定的联系, 两者在小波理论、离散Fourier分析与三角逼近理论中有着直接的应用. 谱集与Tile以及谱与Tiling集之间的关系是相当神秘的,有几个猜测主要针对两两之间的联系, 以便澄清它们中的关系.在共轭Fuglede猜想中,已经知道存在的集合Omega与D必须满足m(Omega)m(D)=1.这对于共轭Fuglede猜想来说是一个必要条件.在探讨谱与Tilings之间的关系时,所涉及的集合的Lebesgue测度必须满足某些确定的关系,这是我们首先需要了解的内容.在这方面,密度方法发挥了重要的作用,但它仅提供我们有关集合的Lebesgue测度的部分结果,而且在相应离散集合的密度存在的前提下使用方便.一般来说,在谱与Tilings关系之中涉及集合Lebesgue测度的详细比较与估计还没有完全确定.
本文主要分两部分探讨上述所涉及的问题.
第一部分将在两种特有的情形下研究谱与Tilings之间的关系. 首先,我们估计和比较谱与Tilings关系中集合的Lebesgue测度,这包括一些不能直接用密度方法所得结果的推广,以及在正交对、填充对与覆盖对中集合的Lebesgue测度的比较. 其次,我们明确了平移对(D,Lambda+Gamma)与(D+Gamma,Lambda)之间的一些谱与Tilings关系.
第二部分将从谱与Tilings的基本性质出发,利用密度方法,得到谱与Tilings关系中集合的勒贝格测度的一些估计,为进一步研究此类问题奠定基础.
这里的研究是基于谱与Tilings的基本性质, 与共轭Fuglede猜想密切相关.
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