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南京航空航天大学

2015年硕士研究生入学考试初试试题（

科目代码: 科目名称: 814 高等代数 A 卷） 分 满分: 150

一、(15分)设f (x ) =x 4−4x 2+ax +b ，符号“|”表示多项式的整除.

1．求a , b 的值，使得f (x ) =(x 2−2) 2；

2．求a , b 的值，使得x 2−x −2|f (x ) ；

3．求a , b 的值，使得(x −1) 2|f (x ) .

⎛1⎞⎛2⎞⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟二、(15分)设向量组α1=⎜2⎟, α2=⎜3⎟, α3=⎜3⎟, α4=⎜a +2⎟.

⎜1⎟⎜a ⎟⎜0⎟⎜−2⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

1．求参数a ，使得α1, α2, α3线性相关；

2．求参数a ，使得α3不能由α1, α2, α4线性表出；

3．当a =0时，将α3用α1, α2, α4线性表出.

三、(20分)设方程组

⎧a x +x 2+x 3=a , I :⎨1

⎩x 1+a x 2+x 3=a ;

同解.

1．求a 的值；

2．求方程组的模（长度）最小的特解. 3⎧a x 1+x 2+x 3=1, ⎪II :⎨(a +1) x 1+(a +1) x 2+2x 3=a +1, ⎪2⎩x 1+x 2+a x 3=a

四、(20分)设n 维向量α=(1, 1, L , 1) T , β=(n , 0, L , 0) T ，并且矩阵A =ααT , B =αβT ，这里“T ”表示转置，以下各题相同.

1．求A 的特征值和特征向量；

2．求B 的特征值和特征向量；

3．证明A 与B 相似.

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