2018年黑龙江八一农垦大学农学院614数学(农科)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
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即满足AB=
£；的所有矩阵为
其中为任意常数.
2．
设
B
是
（
I
）证明（II
）证明（III ）若【答案】⑴
矩阵
逆其中E 是n 阶单位矩阵
.
且A 可对角化，求行列式
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1.
又存在可逆矩阵p ,
使或
1.
3． 已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
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得到矩阵B
的特征值也是当时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似. 4．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
二、计算题
5．
计算
【答案】
记则原式
=又
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