2018年浙江大学农业与生物技术学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
2．
已知
其中E
是四阶单位矩阵
是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
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所以有
3．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，
并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设
则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使
C 存在
，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
为任意常数.
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4．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
二、计算题
5． 计算下列各行列式：
（1
）
（2
）
（3
）
（4
）
【答案】⑴