● 摘要
本文基于Mark Fels和Peter J. Olver的活动标架理论, 给出了用经典算法和改进的递归算法来构造活动标架和微分不变量的代数构造算法, 并以几个李变换群为例演示了两种方法的构造过程. 结果证明递归构造方法与经典的Cartan 方法相比较, 它不仅能够系统地应用于任意的变换群作用, 也不要求一个 slice 的存在, 且对于多参数的变换群来说, 其递归构造方法使得相应的活动标架和微分不变量的构造过程更便捷, 也容易实现. 重要的是, 相应的Maurer- Cartan形也被一步一步地构造获得. 此外, 文中还给出了一种基于活动标架理论的用于求解常微分方程(ODES)和偏微分方程(PDES)的新方法. 文中所获结果不仅是新的, 且为微分不变量在微分方程中的应用研究提供了基础理论支撑.
本文主要工作包括以下六个部分：
第一章简要介绍了非线性问题中微分方程的重要性以及活动标架的发展历程及广泛的应用研究, 同时也介绍了微分不变量的理论应用研究, 并建立了活动标架和微分不变量之间的一种联系. 最后介绍了本文的选题和工作.
第二章主要阐述了变换群、以及群作用延拓, jet空间的一些相关理论, 为第三章的活动标架理论提供理论基础.
第三章详细讲述了活动标架理论的两种构造方法, 即基本构造方法和改进的递归构造方法; 并以一些李变换群为例, 分别演示了这两种算法的构造过程. 在此基础上, 又讲述了微分不变量和微分不变算子的构造以及它们的联系.
第四章主要以两个变换群为例分别演示了经典构造算法和改进的递归构造算法构造活动标架和微分不变量的过程; 并对这两种算法进行了比较, 从而演示了改进的递归算法的高效性.
第五章主要叙述活动标架构造的微分不变量在微分方程中的应用, 即求解常微分方程和偏微分方程.
第六章对本文工作做以总结, 提出新的研究问题, 并给出对未来工作的展望.