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一、简答题

1． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

2． 写出泡利矩阵。 【答案】

3． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？

【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；

受激辐射是处于激发能级低能级的。

4． 完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

5． 现有三种能级【答案】

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

的几率。

位置

在

处的几率密度

；

试述

及

的原子被一个频率为

的光子照射，受激发而跃迀到较

同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机

依题意

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

一维谐振子．

6． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。 【答案】不同意。因为

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为实函数，但可以为复函数。

7． 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

8． 反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：

（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；

（3）分裂能级间距与能级有关；

（4）由于电子具有自旋。

9． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?

【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

10．如果算符表示力学量那么当体系处于

的本征态时，问该力学量是否有确定的值？

【答案】是，

其确定值就是在本征态的本征值。

二、证明题

11．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】

12．设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为

即有：

因A 不显含时间t , 所以

因而有：

所以

三、计算题

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13．

若有已归一化的三个态交，归一的新的态矢量

【答案】因为设由

所以

和

和]

且有试用Schmidt 方法构成正

贝IJ :

得：

同理，设由

则：

因此：

代入上式，得：

故：

中运动。

表

14．三个自旋为的全同粒子，在一维位势

（1

）给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢（谐振子波函数以示）。

（2）它们的简并度分别是多少？ 【答案】（1）基态

第一激发态：

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