题目：算子代数上若干可导映射的研究

摘要 本文主要研究了算子代数上的若干可导映射与可乘映射. 我们所讨论的映射包k-Jordan 可导映射, k-Jordan 三重可导映射, Jordan *- 可导映射, Lie 三重可导映射, ξ-Lie 可导映射以及高阶Lie 可导映射等. 我们所讨论的算子代数包括: 标准算子代数, von Neumann 代数, 套代数及三角代数.
       全文共分为五个章节, 具体内容如下: 在第一章中, 我们首先介绍了本文的选题意义并回顾了国内外一些学者对此课题的研究进展, 然后介绍了一些算子代数的基本理论, 为后面章节的研究作必要的准备.
       在第二章中, 我们首先引入了k-Jordan 可导映射的概念, 即设A 是复数域C 上的代数, k 为非零有理数. 若映射δ : A → A 满足 δ(k(ab + ba)) = k[δ(a)b + aδ(b) + δ(b)a + bδ(a)], a, b ∈ A, 则δ 称为代数A 上的k-Jordan 可导映射. 然后我们研究了套代数上的k-Jordan 可导映射, 证明了套代数上的k-Jordan 可导映射是可加导子, 并具体刻画了定义在无限维Hilbert 空间上的套代数的k-Jordan 可导映射, 其次对套代数上k-Jordan 三重可导映射做了相应研究. 最后我们研究了套代数上的Lie 三重可导映射, 证明了套代数上的Lie 三重可导映射是可加导子与零化二次换位子的泛函之和, 同时具体刻画了定义在无限维Hilbert 空间上的套代数的Lie 三重可导映射.
       在第三章中, 我们讨论了由B(X) 中标准算子代数A 到B(X) 的ξ-Lie 可导映射δ, 我们证明了当ξ = 1 时此映射是可加导子与零化换位子的泛函之和, 当ξ =1 时, 此映射是可加导子且δ(ξx) = ξδ(x), x ∈ A, 其次我们讨论了广义ξ-Lie 可导映射的相关情况. 最后我们研究了由B(H)中标准算子代数A 到B(H)上的Jordan *- 可导映射δ, 即δ(ab + ba) = δ(a)b* + aδ(b) + δ(b)a* + bδ(a), a, b ∈ A, 得到存在T ∈B(H), 使得δ(a) = aT + Ta*, a ∈ A.
       在第四章中, 我们首先研究了三角代数上的零点Jordan 可导映射, 证明了三角代数上的零点Jordan 可导映射是可加导子, 其次研究了三角代数上的标准幂等元点ξ-Lie 可导映射(ξ ?= 0, 1), 证明了三角代数上的标准幂等元点ξ-Lie 可导映射是导子.最后我们分别研究了三角代数上的零点Jordan 高阶可导映射, 标准幂等元点ξ-Lie 高阶可导映射以及非线性Lie 高阶可导映射, 证明了三角代数上的零点Jordan 高阶可导映射是高阶导子, 标准幂等元点ξ-Lie 高阶可导映射是高阶导子, 非线性Lie 高阶可导映射是高阶导子与零化换位子的中心值映射之和.
        在第五章中, 我们引入了保Jordan *- 乘积映射的概念, 即若Φ : A → B 是双射, 且满足Φ(X*Y +Y X*) = Φ(X)*Φ(Y )+Φ(Y )Φ(X)*, ?X, Y ∈ A, 则称Φ 为保Jordan*- 乘积映射. 在本章我们研究了因子von Neumann 代数上的保Jordan *- 乘积映射, 得到此映射是*-环同构的结论, 并具体刻画了I 型因子von Neumann 代数及有限因子von Neumann 代数上的保Jordan *- 乘积映射.