题目：新型跳频序列设计及分析

摘要 跳频通信中，跳频序列的性能对跳频通信系统的性能有着决定性的影响，寻求和设计具有理想性能的跳频序列族是研究跳频通信系统的重要课题之一。素数码是有限基域GF(P)（P为素数）上域乘法的结果，作为一类具有理想汉明相关特性的跳频序列族，在跳频通信、光通信等领域得到广泛应用。为满足不同通信系统的要求，基于素数码构造周期更长、序列数目更多的跳频序列族已形成跳频序列设计的一大分支。 级联素数码是素数码在有限扩域GF(P2)上扩展的首次尝试，具有较好汉明相关性能，分组后，得到具有理想汉明相关性能的跳频序列组，是新近出现的一类性能较好的跳频序列族，也是基于素数码构造跳频序列族的一种新方法。 本论文围绕级联素数码，沿着认识、理解、扩展的思路，从素数码与级联素数码的关系和有限域理论两个角度出发，对级联素数码的构造和性能展开研究，提出由素数码序列时移或频移后级联和基于有限扩域域乘法的两种构造方法，设计出序列数目更多、周期更长、族数更多的新跳频序列族，分析其汉明相关性能和码族个数，并进行分组，得到具有理想汉明相关性能的跳频序列组。 级联素数码是一种尝试性构造，很不成熟。从数论的角度分析关键参数y，得出y为素数P的二次非剩余的数学定义，赋予级联素数码一定的数学框架，简化了汉明相关性能的证明并得出非重复特性的结论。从级联的角度出发，分析级联素数码与素数码的关系，得出级联素数码是由素数码序列对时移、频移后级联得到的，得到具体时移和频移规律。此外，通过分析分组的时移规律，简化了分组依据，并作出仿真模型。提出了通过将素数码序列时移、频移后级联构造跳频序列族的新方法。 从有限域的视角分析，将素数码与级联素数码的构造与有限基域GF(P)与有限扩域GF(P2)的关系相结合，得出级联素数码的有限域模型，将级联素数码与有限扩域GF(P2)域乘法相关联。对于研究素数码的构造思想在有限扩域GF(P2)以及GF(Pn)，n>2上的扩展具有启发意义。 受级联素数码有限域模型的启发，将素数码的构造思想直接延伸到有限扩域GF(P2)，分析以形为x2－y（y为素数P的二次非剩余）的二次既约多项式为模的域乘法的结果，构造出平方素数码，具有与级联素数码相同的汉明相关性能。进一步扩展研究，分析以一般二次既约多项式x2-y1x-y0为模的有限扩域GF(P2)域乘法的结果，构造出广义平方素数码，汉明相关性能不变。提出了一个基于有限扩域域乘法构造跳频序列族的新方向。 分别从构造式和有限域模型两个角度分析平方素数码与级联素数码的关系，得出由平方素数码出发，通过交换和时移构造更多跳频序列族的新方法，并应用于广义平方素数码，构造出扩展广义平方素数码，增大跳频序列族的族数。将扩展广义平方素数码与由素数码级联的方法相对照，囊括了级联方法中所有可能的频移或时移步长对，表明基于有限扩域域乘法与由素数码级联两种构造方法的一致性。 进一步扩展，将素数码的构造思想延伸到有限扩域GF(Pn)，n>2上，得出基于有限扩域域乘法构造跳频序列族的一般构造式，得到n阶素数码，最大汉明互相关值为2(n-1)，同时确定其码族个数。通过计算机仿真，将n阶素数码进行分组，得到具有理想汉明相关性能的跳频序列组。完成基于有限扩域域乘法构造跳频序列族的研究。