● 摘要
本文研究三类生物动力学模型: 带有捕获项及Holling-II 型功能反应函数的捕食-食饵模型, 带有交叉扩散项的 Gause 型捕食-食饵模型和带 Holling-IV 型反应函数的捕食-食饵模型.主要运用非线性分析和非线性偏微分方程的理论、方法, 讨论了模型解的共存性.
本文主要内容如下:
第一章简单介绍了捕食-食饵模型的相关生物背景及国内外发展状况, 并给出了一些相关的研究成果.
第二章考虑了一类在~Dirichlet 边界条件下, 带有捕获项及~Holling-II 型功能反应函数的捕食-食饵系统. 首先, 利用上下解方法得到了解的先验估计; 其次, 利用谱分析和分歧理论, 证明了发自半平凡解处的局部分歧正解的存在性; 最后, 将局部分歧延拓为全局分歧, 并得到解沿正锥伸向无穷.
第三章讨论了带有交叉扩散项的~Gause 型捕食-食饵模型在齐次~Neumann 边界条件下的非常数正解的存在性. 文中交叉扩散项的生物意义是食饵通过自身保护的方式抵制来自捕食者的侵害. 首先利用极大值原理和~Harnack 不等式给出了模型正解的先验估计; 其次利用积分法讨论了非常数正解的不存在性; 最后在先验估计的基础上运用~Leray-Schauder 度理论证明了非常数正解的存在性.
第四章研究了一类带~Holling-IV 型反应函数的捕食-食饵模型在齐次~Neumann 边界条件下的平衡态解的存在性. 首先, 通过谱分析法得到了常数平衡解的稳定性结论; 其次, 在一维的情况下, 利用局部分歧理论分析了常数解处局部分歧; 最后, 利用全局分歧理论证明该局部分歧可以延拓为全局分歧, 其连通分支伸向无穷.