题目：大腔体电磁散射的高阶快速算法

腔体的电磁散射一直以来都是计算电磁学与计算数学领域共同关注的热点问题。腔体模型普遍存在于战机、舰船等军事目标中，对很多其它实际工程也有广泛的应用。同时，腔体又是目标中的强散射源，是研究电磁散射原理的重要工具，也是隐身技术需要考虑的重点部件。因此，对其电磁散射特性的研究具有重要的理论与实际意义。当波数很高或者腔体尺寸远大于波长时，被称为电大尺寸的腔体的散射则是这一课题中极具挑战性的难点所在。尤其在高波数情况下，腔体的散射场振荡剧烈。为保证获得一定的精度，必须在每个波长内设置较多的节点，这直接导致系统的规模巨大，内存与计算速度受到限制，甚至使得系统病态，很难得到有意义的数值解。本论文对高波数情况下的开口腔体散射进行了系统的研究，做了以下工作：首先，从基本的电磁理论入手回顾了开口腔体的电磁散射的理论基础。鉴于一般情形下的电磁场方程，给出横磁模式和横电模式下的开口腔体的散射方程。详细介绍了结合格林函数推导透明边界条件的过程，并由此将无界区域的模型问题转化为有界区域内的具有非局部边界条件的~Helmholtz~方程。接着，针对填充均匀介质的开口腔体散射问题提出了有效的高阶快速算法。该方法在腔体内部以及透明边界条件处都具有四阶精度，同时在水平方向采用快速傅里叶变换，垂直方向利用高斯消去法，将腔体内整个区域的问题归结到口径面处的部分区域进行求解。计算求得口径面处的总场，进行近远场转换，最终得到腔体的雷达散射截面，大大提高了散射问题的求解速度。同时证明了该算法数值解的存在唯一性，对算法复杂度进行了仔细分析。对口径面系统做了相应的预处理分析，改善了收敛速度。进一步将其推广到填充均匀介质的部分覆盖腔体模型，同样体现了高阶快速算法的优越性。论文进一步研究了填充非均匀介质的开口腔体的散射问题。鉴于非均匀介质特性，我们利用浸入界面方法结合紧致高阶格式构造了填充分层介质的腔体散射的高阶算法。同时借助于模型本身的物理特性，针对提出的高阶算法离散方程得到的大规模系统给出了一种基于~Krylov~子空间迭代的预处理方法，达到了系统的快速求解，从而构成了解决填充非均匀介质的开口腔体散射的高阶快速方法。该方法成功求解了填充多层分层介质或填充较为规则的一般型的非均匀介质的开口腔体散射问题。本论文较系统地给出了算法的实现过程、精度分析、解的存在唯一性证明、复杂度分析，并通过数值算例验证了高阶快速算法的精度和效率。这些算法对于研究一般的散射问题亦具有一定的参考价值。