题目：一类具有阶段结构的捕食-食饵模型解的分析

当今数学生物学已经发展成为一个受到广泛关注的学科, 人们对许多生命现象建立了数学模型, 并应用现代数学方法加以研究, 产生了许多有价值的结果. 这不仅对促进了数学分支学科的发展, 而且这些数学结果可以直接反馈给现象本身, 促进社会生产和病虫害的预防和控制等.
本论文主要研究一类捕食者具有阶段结构的捕食-食饵反应扩散模型defR{mathbb{R}}$$egin{cases}frac{partial u}{partial t}=d_{u}Delta u+u(r-au)-frac{bu}{1+mu}w,&(t,x)inR^+ imesOmega,\ frac{partial v}{partial t}=d_{v}Delta v+kfrac{bu}{1+mu}w-(D+d_1)v,&(t,x)inR^+ imesOmega,\ frac{partial w}{partial t}=d_{w}Delta w+Dv-d_2w,&(t,x)inR^+ imesOmega,\frac{partial u}{partial
u}=frac{partial v}{partial
u}=frac{partial w}{partial
u}=0,&(t,x)inR^+ imespartialOmega,\u(0,x)=u_0(x)geq0,v(0,x)=v_0(x)geq0,w(0,x)=w_0(x)geq0,&xinOmegaend{cases}$$和相关的椭圆问题$$egin{cases}dDelta u+u(r-au)-frac{bu}{1+mu}w=0,&xinOmega,\dDelta v+kfrac{bu}{1+mu}w-(D+d_1)v=0,&xinOmega,\dDelta w+Dv-d_2w=0,&xinOmega,\frac{partial u}{partial
u}=frac{partial v}{partial
u}=frac{partial w}{partial
u}=0,&xinpartialOmega.end{cases}$$
下面是本论文的结构和主要内容:
第一章中介绍了捕食-食饵模型和阶段性结构模型的背景和发展状况, 罗列出了一些基本概念和经典结果, 包括特征值问题, 整体分歧定理和动力系统及各种持久性的定义, 这些是以后章节顺利进行的基础.
第二章研究的解的长时间行为. 首先采用单个方程和拟增方程组的比较原理给出了解的一个估计, 解的整体存在性和半平凡解的全局渐近稳定性, 以及利用线性化系统的特征值分析和Routh-Hurwitz判据得到常数稳态解的局部渐近稳定性和不稳定性. 其次应用半线性抛物方程的几何理论和几个重要不等式, 得到解的一致最终H"{o}lder范数的有界性和全局吸引子的存在性. 最后利用无穷维动力系统理论和持久性理论得到系统的鲁棒持久性, 运用Liapunov方法得到在一定条件下正常数稳态解的全局渐近稳定性.
第三章讨论了非常数正稳态解的存在性. 首先, 利用一个与最大值原理有关的引理得到正稳态解的上界估计, 利用椭圆方程标准理论得到了正解有正的下界, 以及利用能量积分的方法得到在扩散系数很大时非常数正解的不存在性; 其次, 给出一类椭圆算子的特征值相关的一些结果: 算子核空间, 像空间和特征值代数重数的计算, 从而利用整体分歧定理得到一般系统的在常数解附近的全局分歧的存在性; 然后, 利用单特征值分歧理论, 得到在常数平衡态处的局部分歧, 局部分歧解的近似结构, 及非常数正解的存在性; 最后, 利用整体分歧定理证明整体分析的发生, 并在空间是一维情形时, 利用周期对称延拓方法给出了整体分歧曲线的一个好的刻画, 证明了在扩散系数小于某个正数时非常数正解是一定存在的.
第四章中进行了一些数值模拟和证明了在参数满足一定条件下时相应的常微分模型的正平衡态的全局渐近稳定性.