2018年山东建筑大学理学院906量子力学之量子力学教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、简答题
1． 波函数
是否描述同一状态？
【答案】
与描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。
2． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.
叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.
为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合
二、计算题
3． 设限制在边长为L 的立方体中的单粒子的本征能量与本征波函数是已知的，其中基态是非简并的，而第一激发态与第二激发态都是3重简并的. 具体而言，基态的本征能量与轨道波函数分别为
第1激发态的本征能量与轨道波函数分别为
第2激发态的本征能量与轨道波函数分别为且前三个单粒子能级是等间隔的.
设由4个上述单粒子构成的全同粒子体系，限制在边长为L 的立方体中. 计算体系的较低的2个本征能量及相应的简并度.
【答案】题中并未给出粒子是费米子还是玻色子，故分两种情况讨论： 由题意可知（1）粒子为费米子
此时粒子应该遵守泡利不相容原理，每个波函数最多容下两个粒子. 体系最低能量：对应波函数有
其简并度为6.
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Ⅰ
体系第一激发态能量（2）粒子为玻色子
此时粒子不受泡利不相容原理约束， 体系最低能量：体系第一激发态能量为：
4． 已知在象到
其简并度为：3×3=9.
其简并度为1.
其简并度为3.
表象中，的本征函数为：则由表
表象的变换矩阵S 是什么？
【答案】
5．
若有已归一化的三个态交，归一的新的态矢量
【答案】因为设由
所以
和
和]
且有试用Schmidt 方法构成正
贝IJ :
得：
同理，设由
则：
因此：
代入上式，得：
故：
6． 设在平行于y 轴的磁场中，一个电子的哈密顿为旋算符，在t=0时刻，电子处在【答案】粒子的哈密顿量
本征值为
因此定态方程
t 时刻，电子波函数满足：
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其中，为自的解为：
的本征态，求以后t 时刻电子所处状态的表示式。
因为
故：
所以：
7． —质量为m 的粒子限制在宽度为2L 的无限深势阱当中运动. 势阱为现在势阱的底部加一微扰态的能量。
【答案】未施加微扰前，粒子本征波函数以及相应本证能量为
显然为非简并态。
微扰为故
由
故激发态的一级近似能量为
其中
试利用一阶微扰理论计算第n 激发
三、综合分析题
8． 设电子在均匀磁场（0, 0, B）中运动，其哈密顿算符为满足的运动方程，进而解出【答案】不妨令
由定义知：
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试建立
所
已知t = 0时，