● 摘要
等离子体是一个复杂的系统，
等离子态是自然界中广泛存在的一种物质形态。
由于电子和离子的质量相差悬殊，带电粒子间的 Coulomb 长程相互作用，
通常等离子体的密度和温度等参量是非均匀的，
各种非均匀性的等离子体参量使等离子体一般处于非平衡态。
随着等离子体内扰动的不断增大，各种模态之间发生非线性耦合，
从而导致等离子体内各种非线性现象的发生。
孤子作为非线性现象的研究领域之一，已经有了
一定发展，在非线性发展模型（用于描述随``时间"而发展的一类非线性偏微分方程）的研究方面已经取得了一些成果，
但在非线性发展模型中加入非均匀系数往往使得相关研究变得十分复杂。
本文借助孤子理论对等离子体和流体中的若干带外力、
非均匀和耦合非均匀的非线性发展模型的可积性和解析解进行研究。
本文的主要方法、结论及内容涵盖如下五方面:
一、 等离子体和流体中若干非线性发展模型的 Painlevé
可积和 Lax 对可积
推广 Painlevé 分析方法，对等离子体和流体中带外力的非均匀 Gardner
模型和带外力的广义非均匀 Gardner 模型进行 Painlevé
分析检测，获得这两个带外力的非均匀 Gardner 模型具有 Painlevé
性质时非均匀系数函数间应该满足的约束条件，即 Painlevé
可积条件。带外力的非均匀 Gardner
模型的可积条件含有线性衰减系数和外力项，而带外力的广义非均匀
Gardner 模型的可积条件不仅含有线性衰减系数和外力项，
还含有部分耗散系数。 基于符号计算，推广非均匀 Gardner 模型的
Ablowitz-Kaup-Newell-Segur（AKNS ）
谱问题，对等离子体和流体中带外力的非均匀 Gardner 模型的 AKNS
谱问题进行研究，得到与 Painlevé 可积条件一致的约束条件，
在该约束条件下推导出带外力的非均匀 Gardner 模型的 Lax
对；推广非线性 Schrõdinger （NLS）模型的 AKNS 谱问题，
对等离子体动力学和非线性光学中的非均匀 NLS 模型的 AKNS
谱问题进行研究，通过增加含时空变量的函数因子， 推导出在 Painlevé
可积条件下的非均匀 NLS 模型的 Lax 对；推广非均匀 NLS 模型的 Lax
对到耦合非均匀 NLS 模型，获得该耦合非均匀 NLS 模型的 Lax
对，同时也得出与 Painlevé 可积条件一致的约束条件。
二、 等离子体和流体中若干非线性发展模型的 Bäcklund
变换（BT）和应用
基于所获得的等离子体和流体中带外力的非均匀 Gardner 模型的 Lax
对，引进 Gamma 函数，构造出带外力的非均匀 Gardner
模型的 Gamma-Riccati BT。应用所构造的Gamma-Riccati BT，求解出该带外力的非均匀 Gardner 模型的多孤子型解，
应用最大幅度方法和特征线方法，
解析研究参数和外力项对孤波传播特性的影响；
将所获得的解析解图形化，直观研究参数和外力项
对等离子体和流体中孤波间相互作用的影响。
基于等离子体动力学和非线性光学中的非均匀 NLS 模型的 Lax 对，
利用 Gamma-Riccati 系统的共轭系统消去相应的共轭因素， 构造非均匀
NLS 模型的 Gamma-Riccati BT。应用所构造的 Gamma-Riccati BT，求解出该非均匀 NLS 模型的单孤子型解，并作图研究非均匀系数对孤子传播特性的影响。
基于等离子体动力学和非线性光学中的耦合非均匀 NLS 模型的 Lax 对，
引进由两个分量组成的 Gamma 函数，
且利用 Gamma-Riccati 系统的共轭系统消去相应的共轭因素，
从而构造出耦合非均匀 NLS 模型的 Gamma-Riccati BT。应用构造的Gamma-Riccati BT，求解出耦合非均匀 NLS 模型的单孤子型解，
并图形化研究等离子体动力学和非线性光学中的非均匀系数对孤子传播特性的影响。
三、等离子体动力学和非线性光学中若干非线性发展模型的
Darboux 变换和应用
基于所求出的等离子体动力学和非线性光学中的非均匀 NLS
模型的 Gamma-Riccati BT，针对此 Gamma-Riccati BT
在递推求解时 Gamma 函数存在的回归问题，利用 Lax
对构造 Gamma 函数间一个新的变换，
从而获得一种改进的 Gamma-Riccati BT，基于改进的 Gamma-Riccati BT，获得非均匀 NLS 模型一种 N 次递推的 Dardoux 变换。基于求得的
N 次递推式 Darboux 变换，求解出该非均匀 NLS 模型的多孤子型解，
并作图研究非均匀系数对孤子传播特性和孤子间相互作用的影响。
基于等离子体动力学和非线性光学中的耦合非均匀 NLS
模型的 Gamma-Riccati BT， 针对此 Gamma-Riccati BT
中 Gamma 函数间存在的自重构缺陷，应用耦合非均匀 NLS 模型的 Lax
对，推广非均匀 NLS 模型的 Gamma 函数间的新变换来构造该耦合非均匀
NLS 模型的两个 Gamma 函数间的变新换，由此获得该耦合非均匀 NLS
模型一种改进的 Gamma-Riccati BT。应用改进的 Gamma-Riccati BT，提供一种获得耦合非均匀 NLS 模型的 N 次递推式的 Darboux
变换方法。应用求得的 N 次递推式 Darboux 变换，给出该耦合非均匀
NLS 模型的多孤子型解，并图形化研究耦合方程的非均匀系数对孤子传播特性和孤子间相互作用的影响。
四、 Hirota 双线性方法的应用及其推广
推广 Painlevé 分析截断法，获得一个对数形式的双线性变换，
考虑到等离子体和流体中 Gardner 模型带外力和非均匀系数的特点，
扩展此对数形式的双变换结构，给出带外力的非均匀 Gardner
模型的双线性变换，通过此双线性变换推导出在 Painlevé
可积条件下的带外力的非均匀 Gardner 模型的双线性形式方程，
基于小参数展开，得到等离子体和流体中带外力的非均匀 Gardner
模型的多孤子型解。
图形化分析展示等离子体和流体中的非均匀系数和外力项以及参数
对孤子的形状、传播、背景和孤子之间的相互作用的影响。
五、 辅助方程方法推广及应用
推广辅助方程方法应用于等离子体和流体中带外力的非均匀 Gardner
模型，通过带外力的非均匀 Gardner
模型中的非线性项与最高阶项之间的平衡关系 2M+2=N 的不同选择，
建立带外力的非均匀 Gardner 模型的解与两个不同的展开形式之间的联系，根据原模型带外力和具有非均匀系数的特点，
假设展开函数分别满足两个一阶非线性常微分辅助方程并向非行波推广，
利用这两个一阶常微分方程已知的解构造等离子体和流体中带外力的非均匀
Gardner 模型众多的孤子型解、三角周期解和 Jacobi 椭圆函数解。
推广辅助方程方法应用于等离子体和流体中带外力的广义非均匀 Gardner
模型，同理，通过平衡关系 2M+2=N 的不同选择，建立带外力的广义非均匀 Gardner 模型的解与一个展开函数之间的联系，
根据原模型带外力和具有时空非均匀系数的特点，
假设展开函数满足一阶非线性常微分辅助方程并向非行波推广，
利用辅助方程已知的解构造等离子体和流体中带外力的广义非均匀 Gardner
模型许多的孤子型解、三角周期解和有理解。