2018年福建省培养单位福建物质结构研究所811量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、填空题
1． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。
【答案】对称性；反对称性
2．
一维谐振子升、降算符、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与密顿量H 用N 或【答案】
3． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数
【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符. 4 用球坐标表示 ，．粒子波函数表为写出粒子在球壳中被测到的几率_____。【答案】
5． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。
【答案】质量；电荷；自旋；完全相同
6． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性
、a 的关系是 ; 哈
、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。
二、简答题
7． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。
（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。
8． 现有三种能级【答案】
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
一维谐振子．
9． 什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？
【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。
10．如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为
.
则对任意波函数
完全系为有：
可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。
11．自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
12．自发辐射和受激辐射的区别是什么？
【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；
受激辐射是处于激发能级低能级
的原子被一个频率为
的光子照射，受激发而跃迀到较
同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机
依题意
的。
13．有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。 【答案】不同意。因为
14．请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中，
为实函数，但
可以为复函数。
定义电子的自旋算符，并验证它们
三、证明题
15．处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：
其中，m 是电子质量，
为电子动量算符，算符定义为
且和B 都
为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。
【答案】体系哈密顿量：
其中，显然有
设：
于是有：
其中：
同理，有:
因此，有：
利用类似的方法，可得：
因此，有：
综上所述，可以得到也即故为体系守恒量，得证。
16．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设是束缚态的波函数，相应的本征能量色【答案】由题意
并在方程两边同时积分
有
考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有
试证明这两个波函数对应的态矢正交.