2017年上海市培养单位上海光学精密机械研究所811量子力学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、填空题
1． 如图所示，有一势场为：
，当粒子处于束缚态时，£的取值范围为_____。
图
【答案】
2． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换
的整数倍；对称变换
3． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。
【答案】对称性；反对称性
4．
当对体系进行某一力学量的测量时. 测量结果一般来说是不确定的. 测量结果的不确定性来源于_____.
【答案】测量的干扰
【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性.
5． 玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。
【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率
6． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。 【答案】质量；电荷；自旋；完全相同
二、简答题
7． 波函数么？
【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近
8． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？ 化。
9． 能级的简并度指的是什么？
【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。
10．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
11．量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
12．如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为
.
则对任意波函数
完全系为有：
可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。
13．请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什
体积元中粒子出现的几率密度。
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变
的对易关系.
依题意
定义电子的自旋算符，并验证它们
其中，
14．放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？
【答案】与量子隧穿效应有关。
三、证明题
15．证明，
【答案】因为
可得：
16．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：
（其中
为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
四、计算题
17．简述能量的测不准关系。
【答案】能量测不准关系的数学表示式为
即微观粒子的能量与时间不可能同时进行
准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。
18．设是自旋为1/2的粒子的沿x 、y 与z 轴的自旋算符，而是某一角度. （1）写出粒子的自旋算符（2）将述算符的乘积【答案】⑴（2）由公式且令
其中n 为正整数，则上式即
在
表象中的的矩阵形式； 化简为粒子自旋算符的线性组合.
•