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一、解答题

1． 设n 阶实对称矩阵A

满足

（Ⅰ）求二次型（Ⅱ

）证明[!

【答案】

（Ⅰ）设

由于

从而

的规范形；

是正定矩阵，

并求行列式

的值.

即或

贝

因为A 是

为矩阵A 的特征值，

对应的特征向量为

又因

故有

解得

且秩

实对称矩阵，所以必可对角化，

且秩于是

那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.

故二次型

（Ⅱ）因

为

2．

已知

且

.

求

又

又

知

即

的规范形为

所以矩阵B 的特征值是

：

故

由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，

且

故

【答案】

由题意知

得

故

知

3． 已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）证明

：（Ⅱ

）设

【答案】

（Ⅰ）由同特征值的特征向量，

故

又令即由

求

是3维非零列向量，若线性无关；

且

线性无关.

令

非零可知，是A 的个

线性无关，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关；

（Ⅱ）因为

,

所以

即

故

4． 求个齐次线件JTP

技使它的场础解系由下列向量成.

【答案】由题意，

设所求的方程组为

由这两个方程组知，

所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为

故所求的方程组可取为

将

代入得，

构

解得此方程组

二、计算题

5．

设

（1

）证明

是A 的n-1重特征值；

是A 的n-1重特征值. 注意到A 为对称阵，故A 与对

角阵

=1, 从而R 就是A 的全部特征值. 显然R （A ）（A ）=1,

是A 的n-1重特征值.

的对角元之和为

又由特征值性质：A 的n 个特征

为A 的（惟一的）非零特征值.

（2）求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 【答案】首先

证明

相似，

其中

于是只有一个非零对角元，

即

其次，求A 的非零特征值，

因

再求A 的特征向量.

①对应于

解方程.Ax=0.由

值之和为它的n 个对角元之和，

从而由上所证知

得n-1个线性无关的特征向量为：

②用两种方法求对应于

方法一：

由对称矩阵性质知

的特征向量

的非零解. 而由⑴式

都正交，即

是方程

知

故可取

方法二：

由有

两边转置得这样

就是A 的n 个线性无关的特征向量

按定义，即知A

有非零特征值

与A 的特征值相同.

的根，同样

且对应特征向量为

6． 设A 为n 阶矩阵，证明

【答案】A

的特征值是特征多项式

的特征值是特征多项式的根，

但根据行列式性质1，这两个特征多项式是相等的：