2018年上海师范大学天体物理研究中心862量子力学考研核心题库
● 摘要
一、简答题
1． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
2． 自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
3． 什么是隧道效应，并举例说明。
【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。
4． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？
【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。
5． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
6． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。
（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。
7． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
8． 什么样的状态是定态，其性质是什么？
【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均
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值不随时间改变
9． 已知为一个算符么正算符？
满足如下的两式问何为厄密算符？何为
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
10．写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系时有确定的测值。
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
二、证明题
11．设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为
即有：
因A 不显含时间t , 所以
12．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值
由此得
表示所属的本征函数，则
即是实数。
因为是厄密算符，于是有
因而有：
三、计算题
13．—个电子在沿正Z 方向的均匀磁场B 中运动（只考虑自旋），在t=0时测量到电子自旋沿正X 方向，求在t ＞0时的自旋波函数以及的平均值. 【答案】
在
表象下，
由
可以解得
：
其中
时态矢为：
分别为朝上和朝下时的波函数.
即t=0
时刻电子自选波函数
电子由于自旋产生的能量对应哈密顿量为：
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故状态为的本征态，对应本征值为：
t ＞0时刻电子自旋波函数应为
写成矩阵形式，即
而
平均值为
14．求一宽度为a 且关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元. 【提示：
【答案】【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为在势阱内有定态方程
处于定态时有
则有
由于势函数满足（1）满足偶宇称时有则
设
则波函数满足奇宇称或偶宇称.
注意到①有
有
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】
】
再考虑到归一化条件