当前位置：问答库＞考研试题

一、解答题

1．

设

（1）计算行列式∣A ∣；

（2）当实数a 为何值时，

线性方程组【答案】

有无穷多解？并求其通解.

若要使得原线性方程组有无穷多解，

则有及得

此时，

原线性方程组增广矩阵为

进一步化为行最简形得

可知导出组的基础解系为

非齐次方程的特解为

故其通解为k 为任意常

数.

2． 设二次

型

（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ

）求【答案】

（Ⅰ）由

矩阵A 满足AB=0, 其

中

为标准形，并写出所用正交变换；

知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.

记

值（至少是二重）

，

根据

值是0, 0, 6.

设

有

对

正交化，

令的特征向量为

有

则是

的线性无关的特征向量.

由此可知

，是矩阵A 的特征

故知矩阵A

有特征值因此，矩阵A 的特征

那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，

则

解出

再对，单位化，得

那么经坐标变换

即

二次型化为标准形

专注考研专业课13

年，提供海量考研优质文档！

（Ⅱ）因为又

有

所以由

于是

进而

得

3． 设n

维

列向

量

【答案】记

线性无

关，其中

S 是大于

2的偶

数. 若矩

阵

试求非齐次线性方程组

的通解.

方程组①化为

：

整理得，

由

线性无关，得

显然①与②同解.

下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）

从而组的基础解系为数.

4．

已知方程组量依次是

（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ）求【答案】

有无穷多解. 易知特解为

从而②的通解，

即①的通解为

对应齐次方程A

为任意常

有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向

的基础解系.