题目：图的距离和及平均距离

　　图的距离和是图中所有点对间的距离之和，这个概念是由化学家wi~1101t提出的，它是有机化学中定量研究有机化合物构造性关系的一个十分成功的工具，利用距离和，wiener提出了碳氢化合物中具有确切的物理化学性质的分子模型。此后，有关这一领域的研究活动在化学界就一直没有停止。在化学中距离和是用图的理论建立分子模型时最频繁使用的概念之一。与之密切相关的另一量一平均距离，表示图中所有点对间距离的平均值，最初主要作为评价楼层设计的工具，在以后的研究中，用其刻画图的紧凑性，逐渐地这一概念被用于计算机系统连通方面及通讯网络的分析和设计中，在一个网络模型里，从一点到另一点传递信息的时间和信号的衰减程度往往与信息必须经过的线路长度是成比例的。直径反映了最坏可能的情形，而平均距离则反映了它的平均情况。总之这两个量作为图的重要参数已得到了广大图论工作者的重视和广泛的研究，本文在前人工作的基础之上对这两个量作了一些进一步的研究，并把部分结果作了适当推广。　　本文在绪论中主要引入了距离和及平均距离的概念，并综述了目前关于这两个量的一些研究结果。　　第二章主要通过一些计数技巧给出了n阶无Kk的连通图其平均距离的一个下界、n阶极k连通图平均距离的下界以及围长为5直径为2的k正则图的平均距离，利用自补图理论，着重讨论了自补图的平均距离的上下界，最后给出了图与补图距离和的关系。第三章主要讨论路和圈中加边后的距离和，根据这两类图加边后图的特殊构造，给出了这两类图的距离和的结果。并且对wilker的猜想以2代替孝给出了证明。类似于l连通图的已有结果。利用Menger定理，讨论了l边连通图的情况。　　图的复合运算是图运算中相对比较复杂的一种运算，它不仅要保持原图的结构与特点，而且还要体现复合两图之间的联系，这种联系是比较紧密的，而且使得整个图的连通性很好。由此讨论复合图的平均距离很有必要，为此，本文第四章首先研究了一种特殊复合图中的距离和及平均距离，另外给出图的平方及p次方的有关结果。并推广了联图及图的笛卡尔积中已有的结果。由于图的参数众多，所以深入研究平均距离与其它图参数之间的关系具有重要的意义。因此，第五章首先给出了平均距离与距离最大频率的关系，着重讨论了平均距离与色数的关系。最后一章主要讨论具有给定平均距离图的构造性问题，并提出有待进一步研究的问题。