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一、选择题

1． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B.

2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

3． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

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不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

.

则也不是线性变换，

比如给

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

有

由上述知

线性相关，所以

于是

因此线性相关，故选A.

4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使

C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】

5． 设行列式

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

二、分析计算题

6． 设A 是一个n 级可逆复矩阵，证明A 可以分解成A=UT, 其中U 是酉矩阵，T 是一个上三角矩阵

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其中对角线元素

【答案】设A 的n 个列为

将设为

都是正实数，并证明这个分解是惟一的.

用施密特过程正交化，再单位化，得到一组正交的单位向量

并可取是正实数（i=l，2，…，n ）. 令

（*）可以写成为

于是有分解

其中

仍为上三角阵，且它的对角线元素为

是对角线元素都是正实数的上三角矩阵，则有

上式左边是一个酉矩阵，右边是一个上三角矩阵，其主对角线上元素全是正实数. 类似于13题可证上三角形的酉矩阵必为对角阵，且对角线元素只能为±1. 因此必有

即

表法惟一.

7． 设A 为n 阶复方阵. 证明：存在一个n 维向量的每一个特征根恰有一个线性无关的特征向量

【答案】取且由

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仍为正实数.

如果A 还有另一种分法：

其中

是酉矩阵，

使线性无关的充要条件是A

：线性无关，所以可令

由于使n 维向量组

则P 是可逆矩阵，