2017年伊犁师范学院物理科学与技术学院813量子力学考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 如果
【答案】C
2． 给出如下对易关系：
【答案】
3． 类氢原子问题中，设原子核带正电核为
为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出
是厄米算符，并且
则下列是厄米算符为（ ）。
现几率最大的径向坐标位置是（ ）。 A. B. C. D. E. 【答案】B
4． 考虑个无相互作用的玻色子处在一维无限深势阱中，粒子质量为
势阱范围为
则体系的基态能量是（ ）。
【答案】E
5． 假定角动量平方算符的选择为（ ）
【答案】C
6． 下列算符【答案】
的本征值分别为和如果则可能是本征值
是线性算符的是_____。
二、简答题
7． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的
每条光谱线都分裂为
条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外
电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
8． 波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？么？
【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。
9． 波函数
表示在时刻附近
体积元中粒子出现的几率密度。
的物理含义是什
是否描述同一状态？
【答案】
与描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。
10．能级的简并度指的是什么？
【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。
11．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为
测不准关系为
12．斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。
（2）空间量子化的事实。
（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。
13．在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？
【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。
14．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
15．—个量子体系处于定态的条件是什么？
【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。
16．如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为
.
则对任意波函数
完全系为有：
可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。
依题意
三、证明题
17．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值
由此得
表示所属的本征函数，则
即是实数。
因为是厄密算符，于是有
18．（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符
证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.
因为存在
数
（2）证：因为
【答案】（1）证：对于厄米算符
所以
即本征值为实