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南京航空航天大学 

2016年硕士研究生招生考试初试试题（

科目代码: 科目名称: 814 高等代数 A 卷） 分 满分: 150

⎛0⎜⎜1一、(15分)设矩阵A =⎜0⎜⎜0⎝001006⎞⎟0b ⎟，E 是四阶单位矩阵. 0−5⎟⎟1a ⎟⎠

1．计算多项式f (x ) =xE −A ；

2．若x 2−x −2能够整除f (x ) ,求a , b 的值；

3．若−1, 2是A 的两个特征值,求A 的其余特征值.

二、(15分)设有向量组

⎛1⎞⎛−2⎞⎛−2⎞⎛1⎞⎛1⎞⎛a ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟I :α1=⎜1⎟, α2=⎜a ⎟, α3=⎜a ⎟; II :β1=⎜1⎟, β2=⎜a ⎟, β3=⎜1⎟.

⎜a ⎟⎜4⎟⎜a ⎟⎜a ⎟⎜1⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

1．求a 的值，使得向量组 I 线性相关；

2．求a 的值，使得向量组 I 不能由向量组 II 线性表出；

3．在题1和题2同时成立的情况下，将向量γ=(1, −2, −5) T 用β1, β2, α3线性表出,这里“T ”表示转置，以下各题相同.

三、(20分)已知非齐次线性方程组

⎧x 1+x 2+x 3+x 4=−1, ⎪⎨4x 1+3x 2+5x 3−x 4=−1,

⎪ax +x +3x +bx =1234⎩1

有三个线性无关的解.

1．证明方程组系数矩阵A 的秩为2；

2．求a , b 的值;

3．求方程组在超平面x 3−x 4=0上的模（长度）最小的特解.

科目代码：814科目名称：高等代数 第1页 共3页